Формирование элементарных математических понятий младшего школьника

Е.Ю. Тогобецкая, магистрант кафедры педагогики и методик преподавания

Тольяттинский педагогический университет, Тольятти (Россия)

Ключевые слова: математические понятия, абсолютные понятия, относительные понятия, определения.

Аннотация: В школьной практике многие учителя добиваются от учеников заучивания определений понятий и требуют знания их основных доказываемых свойств. Однако результаты такого обучения обычно незначительны. Это происходит потому, что большинство учащихся, применяя понятия, усвоенные в школе, опираются на малосущественные признаки, существенные же признаки понятий ученики осознают и воспроизводят только при ответе на вопросы, требующие определения понятия. Часто учащиеся безошибочно воспроизводят понятия, то есть обнаруживают знание его существенных признаков, но применить эти знания на практике не могут, опираются на те случайные признаки, выделенные благодаря непосредственному опыту. Процессом усвоения понятий можно управлять, формировать их с заданными качествами.

Keywords: mathematical concepts, absolute concepts, relative concepts, definitions.

Annotation: In school practice many teachers achieve from pupils of learning of definitions of concepts and the knowledge of their basic proved properties demands. However results of such training are usually insignificant. It occurs because the majority of pupils, applying the concepts acquired at school, pupils lean against the unimportant signs, essential signs of concepts realise and reproduce only at the answer to the questions demanding definition of concept. Often pupils unmistakably reproduce concepts, that is find out knowledge of its essential signs, but put this knowledge into practice cannot, lean against those casual signs allocated thanks to a first-hand experience. Process of mastering of concepts it is possible to operate, form them with the set qualities.

При усвоении научных знаний учащиеся начальной школы сталкиваются с разными видами понятий. Неумение ученика дифференцировать понятия приводит к неадекватному их усвоению.

Логика в понятиях различает объем и содержание. Под объемом понимается тот класс объектов, которые относятся к этому понятию, объединяются им. Так, в объем понятия треугольник входит все множество треугольников независимо от их конкретных характеристик (видов углов, размера сторон и др.).

Под содержанием понятий понимается та система существенных свойств, по которой происходит объединение данных объектов в единый класс. Чтобы раскрыть содержание понятие, следует путем сравнения установить, какие признаки необходимы и достаточны для выделения его отношения к другим предметам. До тех пор, пока не установлены содержание и признаки, не ясна сущность предмета, отражаемого этим понятием, невозможно точно и четко отграничить этот предмет от смежных с ним, происходит путаница мышления.

Например, понятии треугольник к таким свойствам относятся следующие: замкнутая фигура, состоит из трех отрезков прямой. Совокупность свойств, по которым объединяются объекты в единый класс, называются необходимыми и достаточными признаками. В одних понятиях эти признаки дополняют друг друга, образуя вместе то содержание, по которому и объединяются объекты в единый класс. Примером таких понятий могут служить треугольник, угол, биссектриса и многие другие.

Совокупность данных объектов, на которые распространяется данное понятие, составляет логический класс объектов. Логический класс объектов - это совокупность объектов, имеющие общие признаки, вследствие чего они выражаются общим понятием. Логический класс объектов и объем соответствующего понятия совпадают.Понятия делятся на виды по содержанию и объему в зависимости от характера и количества объектов, на которые они распространяются. По объему математические понятия делятся на единичные и общие. Если в объем понятия входит только один предмет, оно называется единичным.

Примеры единичных понятий: «наименьшее двузначное число», «цифра 5», «квадрат, длина стороны которого 10 см», «круг радиусом 5 см». Общие понятие отображает признаки определенного множества предметов. Объем таких понятий всегда будет больше объема одного элемента. Примеры общих понятий: «множество двузначных чисел», «треугольники», «уравнения», «неравенства», «числа кратные 5», «учебники математики для начальной школы». По содержанию различают понятия конъюнктивные и дизъюнктивные, абсолютные и конкретные, безотносительные и относительные.

Понятия называются конъюнктивными, если их признаки взаимосвязаны и по отдельности ни один из них не позволяет опознать объекты этого класса, признаки связаны союзом «и». Например, объекты, относящиеся к понятию треугольник, обязательно должны состоять из трех отрезков прямой и быть замкнутыми.

В других понятиях отношение между необходимыми и достаточными признаками другие: они не дополняют друг друга, а заменяют. Это означает, что один признак является эквивалентом другого. Примером такого вида отношений между признаками могут служить признаки равенства отрезков, углов. Известно, что к классу равных отрезков относятся такие отрезки, которые: а) или совпадают при наложении; б) или порознь равны третьему; в) или состоят из равновеликих частей и т.д.

В данном случае перечисленные признаки не требуются все одновременно, как это имеет место при конъюнктивном типе понятий; здесь достаточно какого-то одного признака из всех перечисленных: каждый из них эквивалентен любому из остальных. В силу этого признаки связаны союзом «или». Такая связь признаков называется дизъюнкцией, а понятия соответственно называются дизъюнктивными. Важно также учитывать деление понятий на абсолютные и относительные.

Абсолютные понятия объединяют предметы в классы по определенным признакам, характеризующим суть этих предметов как таковых. Так, в понятии угол отражены свойства, характеризующие сущность любого угла как такового. Аналогично положение со многими другими геометрическими понятиями: окружность, луч, ромб и т.д.

Относительные понятия объединяют объекты в классы по свойствам, характеризующим их отношение к другим объектам. Так, в понятии перпендикулярные прямые фиксируется то, что характеризует отношение двух прямых друг к другу: пересечение, образование при этом прямого угла. Аналогично в понятии число отражено отношение измеряемой величины и принятого эталона. Относительные понятия вызывают у учащихся более серьезные трудности, чем понятия абсолютные. Суть трудностей состоит именно в том, что школь-ники не учитывают относительность понятий и оперируют с ними как с понятиями абсолютными. Так, когда учитель просит учеников изобразить перпендикуляр, то некоторые из них изображают вертикаль. Особое внимание следует уделить понятию число.

Число - это отношение того, что подвергается количественной оценке (длина, вес, объем и др.) к эталону, который используется для этой оценки. Очевидно, что число зависит как от измеряемой величины, так и от эталона. Чем больше измеряемая величина, тем больше будет число при одном и том же эталоне. Наоборот, чем больше будет эталон (мера), тем меньше будет число при оценке одной и той же величины. Следовательно, учащиеся с самого начала должны понять, что сравнение чисел по величине можно производить только тогда, когда за ними стоит один и тот же эталон. В самом деле, если, например, пять получено при измерении длины сантиметрами, а три - при измерении метрами, то три обозначают большую величину, чем пять. Если учащиеся не усвоят относительной природы числа, то они будут испытывать серьезные трудности и при изучении системы счисления. Трудности в усвоении относительных понятий сохраняются у учащихся и в средних, и даже в старших классах школы. Между содержанием и объемом понятия существует зависимость: чем меньший объем понятия, тем больше его содержание.

Например, понятие «квадрат» имеет меньший объем, чем объем понятия «прямоугольник» так как любой квадрат - это прямоугольник, но не всякий прямоугольник есть квадрат. Поэтому понятие «квадрат» имеет большее содержание, чем понятие «прямоугольник»: квадрат имеет все свойства прямоугольника и некоторые другие (у квадрата все стороны равны, диагонали взаимно перпендикулярны).

В процессе мышления каждое понятие не существует в отдельности, а вступает в определенные связи и отношения с другими понятиями. В математике важной формой связи есть родовидовая зависимость.

Например, рассмотрим понятия «квадрат» и «прямоугольник». Объем понятия «квадрат» есть частью объема понятия «прямоугольник». Поэтому первое называют видовым, а второе - родовым. В родо-видовых отношениях следует различать понятие ближайшего рода и следующие родовые ступени.

Например, для вида «квадрат» ближайшим родом будет род «прямоугольник», для прямоугольника ближайшим родом будет род «параллелограмм», для «параллелограмма» - «четырехугольник», для «четырехугольника» - «многоугольник», а для «многоугольника»- «плоская фигура».

В начальных классах впервые каждое понятие вводится наглядно, путем наблюдения конкретных предметов или практического оперирования (например, при счете их). Учитель опирается на знание и опыт детей, которые они приобрели еще в дошкольном возрасте. Ознакомления с математическими понятиями фиксируется с помощью термина или термина и символа. Такая методика работы над математическими понятиями в начальной школе не означает, что в этом курсе не используются различные виды определений.

Определить понятие - это перечислить все существенные признаки объектов, которые входят в данное понятие. Словесное определение понятия называется термином. Например, «число», «треугольник», «круг», «уравнение» - термины.

Определение решает две задачи: выделяет и отмежевывает какое-то определенное понятие от всех других и указывает те главные признаки, без которых не может существовать понятие и от которых зависят все остальные признаки.

Определение может быть более или менее глубоким. Это зависит от уровня знаний о понятии, которое означается. Чем лучшее мы его знаем, тем большая вероятность, что мы сможем дать для него лучшее определение. В практике обучения младших школьников применяются явные и неявные определения. Явные определения имеют форму равенства или совпадения двух понятий.

Например: «Пропедевтика есть вступление в любую науку». Здесь приравнивают один к одному два понятия - «пропедевтика» и «вступление в любую науку». В определении «Квадрат - это прямоугольник, у которого все стороны равны» имеем совпадение понятий. В обучении младших школьников особый интерес среди неявных определений составляют контекстуальные и остенсивные определения.

Любой отрывок из текста, будь какой контекст, в котором случается понятие, которое нас интересует, есть, в некотором понимании, неявным его определением. Контекст ставит понятие в связь с другими понятиями и тем самим раскрывает ее содержание.

Например, употребляя в работе с детьми такие выражения, как «найти значения выражения», «сравнить значение выражений 5 + а и (а - 3) 2, если а = 7», «прочитать выражения, которые являются суммами», «прочитать выражения, и потом прочитать уравнения», мы раскрываем понятие «математическое выражение» как запись, которая складывается из чисел или переменных и знаков действий. Почти все определения, с которыми мы встречаемся в повседневной жизни - это контекстуальные определения. Услышав, неизвестное слово, мы стараемся сами установить его значение на основании всего сказанного. Подобное имеет место и в обучении младших школьников. Много математических понятий в начальной школе определяются через контекст. Это, например, такие понятия, как «большой -- маленький», «какой-нибудь», «любой», «один», «много», «число», «арифметическое действие», «уравнение», «задача» и т.д.

Контекстуальные определения остаются большей частью неполными и незавершенными. Они применяются в связи с неподготовленностью младшего школьника к усвоению полного и тем более научного определения.

Остенсивные определния - это определения путем демонстрации. Они напоминают обычные контекстуальные определения, но контекстом здесь есть не отрывок какого-либо текста, а ситуация, в которой оказывается объект, обозначенный понятием. Например, учитель показывает квадрат (рисунок или бумажную модель) и говорит «Смотрите - это квадрат». Это типичное остенсивное определение.

В начальных классах остенсивные определения применяются при рассмотрении таких понятий как «красный (белый, черный и т.д.) цвет», «левый - правый», «слева направо», «цифра», «предшествующее и следующее число», «знаки арифметических действий», «знаки сравнения», «треугольник», «четырехугольник», «куб» и т.д.

На основе усвоения остенсивным путем значений слов есть возможность вводить в словарь ребенка уже вербальное значение новых слов и словосочетаний. Остенсивные определения - и только они - связывают слово с вещами. Без них язык - лишь словесное кружево, которое не имеет объективного, предметного содержания. Заметим, что в начальных классах допустимые определения наподобие «Словом «пятиугольник» мы будем называть многоугольник с пятью сторонами». Это так называемое «номинальное определение». В математике используются разные явные определения. Наиболее распространенное из них - определение через ближайший род и видовой признак. Родовидовое определение еще называют классическим.

Примеры определений через род и видовой признак: «Параллелограмм - это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельные», «Ромбом называется параллелограмм, стороны которого равны», «Прямоугольником называется параллелограмм, у которого углы прямые», «Квадратом называется прямоугольник, в которым стороны равны», « Квадратом называется ромб, у которого прямые углы».

Рассмотрим определения квадрата. В первом определении ближайшим родом будет «прямоугольник», а видовым признаком - «все стороны равны». В втором определении ближайший род «ромб», а видовой признак - «прямые углы». Если же взять не ближайший род («параллелограмм»), то видовых признаков квадрата будет два «Квадратом называется параллелограмм, у которого все стороны равны и все углы прямые».

В родовидовом отношении находятся понятия «сложение (вычитание, умножение, деление)» и «арифметическое действие», понятие «острый (прямой, тупой) угол» и «угол». Примеров явных родовидовых отношений среди множества математических понятий, которые рассматриваются в начальных классах, не так уже и много. Но с учетом важности определения через род и видовой признак в дальнейшем обучении желательно добиваться понимания учениками сущности определения этого вида уже в начальных классах.

Отдельные определения могут рассматривать понятие и по способу его образования или возникновения. Определение такого типа называют генетическими. Примеры генетических определений: «Угол - это лучи, которые выходят с одной точки», «Диагональ прямоугольника - отрезок, который соединяет противоположные вершины прямоугольника». В начальных классах генетические определения применяют для таких понятий, как «отрезок», «ломаная», «прямой угол», «круг». К генетическим понятиям можно отнести и определение через перечень.

Например, «Натуральный ряд чисел -- это числа 1, 2, 3, 4 и т.д.». Некоторые понятия в начальных классах вводят только через термин. Например, единицы времени год, месяц, час, минута. Есть в начальных классах понятия, которые подаются символическим языком в виде равенства, например, а 1= а, а 0=0

Из выше сказанного можно сделать вывод, что в начальных классах много математических понятий сначала усваиваются поверхностно, расплывчато. При первом ознакомлении школьники узнают только о некоторых свойствах понятий, очень узко представляют их объем. И это закономерно. Не все понятия легко усвоить. Но бесспорно, что понимание и своевременное использование учителем тех или других видов определений математических понятий - одна из условий формирования у учеников твердых знаний об этих понятиях.

Список литературы:

1. Богданович М.В. Определение математических понятий //Начальная школа 2001. - № 4 .

2. Глузман Н. А. Формирование обобщенных приемов умственной деятельности у младших школьников. - Ялта: КГГИ, 2001. - 34 с.

3. Дрозд В.Л. Урбан М.А. От маленьких проблем - к большим открытиям. //Начальная школа. - 2000. - № 5.

Введение

Понятие является одной из главных составляющих в содержании любого учебного предмета, в том числе - и математики.

Одно из первых математических понятий, с которым ребёнок встречается в школе, - понятие о числе. Если это понятие не будет усвоено, у обучаемых возникнут серьёзные проблемы при дальнейшем изучении математики.

С самого начала встреча с понятиями происходит у учащихся при изучении различных математических дисциплин. Так, начиная изучать геометрию, учащиеся сразу же встречаются с понятиями: точка, линия, угол, а далее - с целой системой понятий, связанных с видами геометрических объектов.

Задача учителя - обеспечить полноценное усвоение понятий. Однако в школьной практике данная задача решается не так успешно, как того требуют цели общеобразовательной школы.

«Главный недостаток школьного усвоения понятий - формализм», --считает психолог Н.Ф.Талызина. Суть формализма состоит в том, что учащиеся, правильно воспроизводя определение понятия, то есть, осознавая его содержание, не умеют пользоваться им при решении задач на применение этого понятия. Следовательно, формирование понятий -- это важная, актуальная проблема.

Объект исследования: процесс формирования математических понятий в 5-6 классах.

Цель работы: разработать методические рекомендации для изучения математических понятий в 5-6 классах.

Задачи работы:

1. Изучить математическую, методическую, педагогическую литературу по данной теме.

2. Выявить основные способы определения понятий в учебниках 5-6 классов.

3. Определить особенности формирования математических понятий в 5-6 классах.

Гипотеза исследования : Если в процессе формирования математических понятий в 5-6 классах учесть следующие особенности:

· понятия в большинстве своём определяются с помощью конструирования, и часто формирование правильного представления о понятии у учащихся достигается с помощью поясняющих описаний;

· вводятся понятия конкретно-индуктивным путём;

· на протяжении всего процесса формирования понятия большое внимание уделяется наглядности, то этот процесс будет более эффективным.

Методы исследования:

· изучение методической и психологической литературы по теме;

· сравнение различных учебников по математике;

· опытное преподавание.

Основы методики изучения математических понятий

Математические понятия, их содержание и объём, классификация понятий

Понятие - форма мышления о целостной совокупности существенных и несущественных свойств объекта.

Математические понятия имеют свои особенности: они часто возникают из потребности науки и не имеют аналогов в реальном мире; они обладают большой степенью абстракции. В силу этого желательно показать учащимся возникновение изучаемого понятия (либо из потребности практики, либо из потребности науки).

Каждое понятие характеризуется объёмом и содержанием. Содержание - множество существенных признаков понятия. Объём - множество объектов, к которым применимо данное понятие. Рассмотрим связь между объёмом и содержанием понятия. Если содержание соответствует действительности и не включает противоречивых признаков, то объём - это не пустое множество, что важно показать учащимся при введении понятия. Содержание вполне определяет объём и наоборот. Значит, изменение одного влечёт изменение другого: если содержание увеличивается, то объём уменьшается.

o должно проводится по одному признаку;

o классы должны быть не пересекающимися;

o объединение всех классов должно давать всё множество;

o классификация должна быть непрерывной (классами должны быть ближайшие видовые понятия по отношению к понятию, которое подлежит классификации).

Выделяют следующие виды классификации:

1. По видоизмененному признаку. Объекты, подлежащие классификации, могут обладать несколькими признаками, поэтому можно классифицировать по-разному.

Пример. Понятие «треугольник».

2. Дихотомический. Деление объёма понятия на два видовых понятия, одно из которых обладает данным признаком, а другое нет.

Пример.

Выделим цели обучения классификации:

1) развитие логического мышления;

2) изучая видовые отличия, мы составляем более ясное представление о родовом понятии.

Оба вида классификации используются в школе. Как правило, сначала дихотомический, а затем по видоизменённому признаку.

Тестов Владимир Афанасьевич,

доктор педагогических наук, профессор кафедры математики и методики преподавания математики ФГБОУ ВПО ©Вологодский государственный университетª, г. Вологда[email protected]

Особенности формирования у школьников основных математических понятий в современных условиях

Аннотация. В статье рассматриваются особенности формирования у школьников математических понятий в современной парадигме образования и в свете требований, выдвинутых в концепции развития математического образования. Эти требования предполагают обновление содержания обучения математике в школе, приближение его к современным разделам и практическомуприменению, широкое применение проектной деятельности. Преодолеть существующую разобщенность различных математических дисциплин, изолированность отдельных тем и разделов, обеспечить целостность и единство в обучении математике возможно лишь на основе выделения в ней основных стержней. Такими стержнями являются математические структуры. Необходимым условием реализации принципа доступности обучения является поэтапность процесса формирования понятий об основных математических структурах. Большую помощь в поэтапном изучении математических структур может оказать метод проектов. Применение этого метода при изучении школьниками математических структур позволяет решить целый комплекс задач по расширению и углублению знаний по математике, рассмотрению возможностей их применения в практической деятельности, приобретению практических навыков работы с современными программными продуктами, всестороннему развитию индивидуальных способностей школьников.Ключевые слова:содержание обучения математике, математические структуры, поэтапность процесса формирования понятий, метод проектов.Раздел: (01)педагогика; история педагогики и образования; теория и методика обучения и воспитания (по предметным областям).

В настоящее время завершается переход к информационному обществу, одновременно оформляется новая парадигма в образовании, основанная на постнеклассической методологии, синергетических принципах самообразования, внедрении сетевых технологий, проектной деятельности, компетентностного подхода. Все эти новые веяния требуют обновления содержания обучения математике в школе, приближения его к современным разделам и практическим применениям. Особенностями учебного материала в информационном обществе являются принципиальная избыточность информации, нелинейный характер ее развертывания, возможность вариативности учебного материала.Роль математического образования как основы конкурентоспособности, необходимого элемента безопасности страны осознана руководством России.Правительством вдекабре 2013 г.утверждена концепция развития математического образования. В этой концепции подняты многие актуальные проблемы математического образования. В качестве основной проблемы выделена низкая учебная мотивация школьников, что связано с бытующей вобщественном сознании недооценкой математического образования, а также перегруженностью программ, оценочных и методических материалов техническими элементами и устаревшим содержанием. Современное состояние математической подготовки учащихся вызывает серьезные опасения. Наблюдается формализм математических знаний выпускников средних школ, их недостаточная действенность; недостаточный уровень математической культуры и математического мышления. Во многих случаях изучаемый конкретный материал не складывается в систему знаний; учащийся оказывается ©погребенªпод массой обрушивающейся на него из Интернета и других источников информации, будучи не в состоянии самостоятельно ее структурировать и осмыслить.

В результате значительная часть такой информации быстро забываетсяи математический багаж значительной части выпускников средних школсостоит из большего или меньшего числа слабо связанных между собой догматически усвоенных сведений и лучше или хуже закрепленных навыков выполнения некоторых стандартных операций и типовых заданий. Представление о математике как о единой науке со своим предметом и методом у них отсутствует. Чрезмерное увлечение чисто информационной стороной обучения приводит к тому, что многими учащимися не воспринимается богатое содержание математических знаний, заложенных в программе.Содержательная сторона математического образования должна быть ориентирована не столько на узко понимаемые сегодняшние потребности, сколько на стратегические перспективы, на видение многообразия ее приложений, широкого применения в современном обществе математических моделей. Тем самым ставится задача приближения содержания обучения математике к современной науке. Преодолеть разобщенность различных математических дисциплин, изолированность отдельных тем и разделов, обеспечить целостность и единство в обучении математике возможно лишь на основе выделения в ней истоков, основных стержней. Такими стержнями в математике, как отмечали А.Н. Колмогоров и другие крупнейшие ученые, являются математические структуры, которые подразделяются, согласно Н.Бурбаки, на алгебраические, порядковые и топологические. Некоторые из математических структур могут бытьнепосредственными моделями реальных явлений, другие‬связаны с реальными явлениями лишь посредством длинной цепи понятий и логических структур. Математические структуры второго типа являются продуктом внутреннего развития математики. Из такого взгляда на предмет математики вытекает, что в любом математическом курсе должны изучаться математические структуры. Идея математических структур, оказавшаяся весьма плодотворной, послужила одним из побудительных мотивов к радикальной реформе математического образования в 60‬70х гг. Хотя эта реформа позднее подверглась критике, ее основная идея остается весьма полезной и для современного математического образования . В последнее время в математике возникли новые важные разделы, требующие своего отражениякак в вузовской, так и в школьной программе по математике (теория графов, теория кодирования, фрактальная геометрия, теория хаоса и др.). Эти новые направления в математике обладают большим методологическим, развивающим и прикладным потенциалом. Разумеется, все эти новые разделы математики не могут с самого начала изучаться во всей их глубине и полноте. Как показано в , процесс обучения математике должен рассматриваться как многоуровневая система с обязательной опорой на нижележащие, более конкретные уровни, ступени научного познания. Без такой опоры обучение может стать формальным, дающим знание без понимания. Поэтапность процесса формирования основных математических понятий является необходимым условием реализации принципа доступности обучения.

Взгляды о необходимости выделения последовательных этапов в формировании понятий о математических структурах среди математиковпедагогов широко распространены. Еще Ф. Клейн в своих лекциях для учителей отмечал необходимость предварительных этапов в изучении основных математических понятий: ©Мы должны приспособляться к природным склонностям юношей, медленно вести их к высшим вопросам и лишь в заключение ознакомить их с абстрактными идеями; преподавание должно идти по тому же самому пути, по которому все человечество, начиная со своего наивного первобытного состояния, дошло до вершин современного знания. ...Как медленно возникали все математические идеи, как они почти всегда всплывали сперва скорее в виде догадки и лишь после долгого развития приобретали неподвижную выкристаллизованную форму систематического изложенияª.По мнению А.Н. Колмогорова, обучение математике должно состоять из нескольких ступеней, что он обосновывал тяготением психологических установок учащихся к дискретности и тем, ©естественный порядок наращивания знаний и умений всегда имеет характер “развития по спирали”ª. Принцип ©линейногоªпостроения многолетнего курса, в частности математики, по его мнению, лишен ясного содержания. Однако логика науки не требует, чтобы ©спиральªобязательно разбивалась на отдельные ©виткиª.В качестве примера такого поэтапного изучения рассмотрим процесс формирования понятия такой математической структуры, как группа. Первым этапом в этом процессе можно считать еще дошкольныйвозраст, когда дети знакомятся с алгебраическими операциями (сложения и вычитания), которые проводятся непосредственно над множествами предметов. Дальше этот процесс продолжается в школе. Можно сказать, что весь курс школьной математики пронизан идеей группы.Знакомство учащихся с понятием группы начинается,по сути дела, уже в 1‬5хклассах. В этот период в школе алгебраические операции производятся уже над числами. Теоретикочисловой материал является в школьной математике наиболее благодатным материалом дляформирования понятия об алгебраических структурах. Целое число, сложение целых чисел, введение нуля, нахождение для каждого числа ему противоположного, изучение законов действий все это, по существу, этапы в формировании понятия об основных алгебраических структурах (группах, кольцах, полях). В последующих классах школы учащиеся сталкиваются с вопросами, которые способствуют расширению знаний такого характера. В курсе алгебры осуществляется переход от конкретных чисел, выражаемых цифрами, к абстрактным буквенным выражениям, обозначающим конкретные числа лишь при определенном истолковании букв. Алгебраические операции производятся уже не только над числами, но и над объектами другой природы (многочленами, векторами). Учащиеся начинают осознавать универсальность некоторых свойств алгебраических операций. Особенно важным для осознания идеи группы является изучение геометрических преобразований и понятий композиции преобразований и обратного преобразования. Однакопоследние два понятия не отражены в ныне действующей школьной программе (о последовательном выполнении движений и об обратном преобразовании лишь вскользь упоминается в учебнике А.В. Погорелова). В элективных и факультативных курсах целесообразно рассмотреть группысамосовмещений некоторых геометрических фигур, группы вращений, орнаментов, бордюров, паркетов и различные приложения теории групп в кристаллографии, химии и т.д.Эти темы, где приходится знакомиться с математической постановкой практических задач, вызывают у учащихся наибольший интерес.При знакомстве с понятием группы в общем виде необходимо опираться на ранее полученные знания, которые выступают структурообразующим фактором в системе математической подготовки студентов, что позволяет надлежащим образом решить проблему преемственности между школьной и вузовской математикой. Хотя изучение современных понятий математики и ее приложений повышает интерес к предмету, но дополнительного времени для этого на уроках учителю найти практически невозможно. Поэтому здесь может помочь внедрение в учебный процесс проектной деятельности. Этоттип организации труда является и одной из основных форм реализации в образовании компетентностного подхода. Такой тип организации труда, как отмечает А.М. Новиков, требуетумения работать в команде, зачастую разнородной, коммуникабельности, толерантности, навыков самоорганизации, умения самостоятельно ставить цели и достигать их. Если кратко сформулировать,что такое образованность в постиндустриальном обществе, то это способность общаться, учиться, анализировать, проектировать, выбирать и творить.Поэтому переход от образовательной парадигмы индустриального общества к образовательной парадигме постиндустриального общества означает, по мнению ряда ученых, прежде всего, выход на главную роль проективного начала, отказ от понимания образования только как получения готового знания, изменение роли учителя, использование для получения знаний компьютерных сетей. Учитель попрежнему остается центральным звеном процесса обучения, с двумя важнейшими функциями поддержки мотивации, содействия формированию познавательных потребностей и модификации процесса обучения класса или конкретного ученика. Электронная образовательная среда способствует формированию его новой роли. В такой высокоинформативной среде учитель и ученик равны в доступе к информации, содержанию обучения, поэтому учитель уже не может быть главным или единственным источником фактов, идей, принципов и другой информации. Его новую роль можно охарактеризоватькак наставничество. Он поводырь, который вводит учащихся в образовательное пространство, в мир знания и мир незнания. Однако за учителем сохраняются и многие старые роли. В частности, при обучении математике ученик очень часто сталкивается с проблемой понимания и, как показывает опыт, с ней ученик без диалога с учителем справиться не может, даже при использовании самых современных информационных технологий. Архитектура математического знания плохо совмещается со случайными постройками и требует особой культуры, как усвоения, так и преподавания. Поэтому учитель математики был и остается толкователем смыслов различных математических текстов.Компьютерные сети в обучении можно применять для совместного использования программных ресурсов, осуществления интерактивного взаимодействия, своевременного получения информации, непрерывного мониторинга качества полученных знаний и т.д.Одним из видов проектной деятельности учащихся при использовании сетевых технологий является учебный сетевой проект. При изучении математики сетевые проекты ‬удобное средстводля совместной отработки учащимися навыков решения задач, проверки уровня знаний, а также формирования интереса к предмету. Особенно такие проекты полезны для учащихся гуманитарных профилей и других, далеких от математики.Что касается проектной деятельности, то теоретические предпосылки использования проектов в обучении сложились еще в индустриальную эпоху и основаны на идеях американских педагогов и психологов конца XIX в. Дж. Дьюи и У. Килпатрика. В начале XX в. отечественные педагоги (П.П. Блонский, П.Ф. Каптерев, С.Т. Шацкий и др.), разрабатывавшие идеи проектного обучения, отмечали, что метод проектов может применяться как средство слияния теории и практики в обучении; развития самостоятельности и подготовки школьников к трудовой жизни; всестороннего развития ума и мышления; формирования творческих способностей. Но уже тогда стало ясным, что проектное обучение ‬полезная альтернатива классноурочной системе, но оно отнюдь не должно вытеснять ее и становиться некой панацеей.Современные исследования применения проектов в обучении выявили широкие возможности учебных проектов с использованием ИКТ, позволяющие углублять, обновлять знания, формировать умение самостоятельно приобретать их, ориентироваться в информационном пространстве. Исследователи отмечают, что эффективность реализации учебных проектов достигается, если они взаимосвязаны между собой, сгруппированы по определенным признакам, а также при условии их систематического использования на всех этапах усвоения содержания предмета: от овладения основными математическими знаниями к самостоятельному приобретению новых знаний до глубокого понимания математических закономерностей и использования их в различных ситуациях.Результат выполнения учебных проектов предполагает создание субъективно нового, личностно значимого продукта, ориентированного на формирование прочных математических знаний и умений, развитие самостоятельности, возрастание интереса к предмету.Общепризнано, что школьная математика предполагает специально организованную деятельность по решению задач.Однакопервое, что бросается в глаза при рассмотрении проектов ©по математикеª, ‬это практически полное отсутствие собственно математической деятельности в большинстве из них. Тематика таких проектов очень ограничена, в основномэто темы, связанные с историей математики (©золотое сечениеª, ©числа Фибоначчиª, ©мир многогранниковªи т.п.). В большинстве проектов есть только видимость математики, есть некоторая деятельность, связанная с математикой лишь косвенно.Выход на современные разделы математики затруднен в силу отсутствия в школьной программе даже намека на такие разделы.В проектной деятельности на первый план выдвигается не усвоение знаний, а сбор и систематизация некоторой информации. В то же время в математической деятельности сбор и систематизация информации только первый этапработы над решением проблемы, притом самыйпростой, для решения математической задачи требуются специальные умственные действия, невозможные без усвоения знаний. Математические знания обладают специфическими особенностями, игнорирование которых приводит к их вульгаризации. Знание в математике ‬это переработанные смыслы, прошедшие ступени анализа, проверки на непротиворечивость, совместимость со всем предыдущим опытом. Это не позволяет понимать под ©знаниемªпросто факты, считать способность к редукции полноценным усвоением.Математика как учебный предмет обладает другой специфической особенностью: в ней решение задач выступает в качестве и объекта изучения и метода развития личности. Поэтому в ней решение задач должно оставаться основным видом учебной деятельности, особенно для учащихся, выбравших профили, связанные с математикой.Ученик должен войти, отмечает И.И. Мельников, проникнуть внутрь самого сложного умения, дарованного человеку,‬процесса принятия решений. Ему предлагают понять, что такое ©решить задачуª, как сформулировать проблему, как определить средства для решения, как разбить сложную задачу на взаимосвязанные цепочки простых задач. Решение задач постоянно подсказывает развивающемуся сознанию, что в создании нового знания, в решении проблем нет ничего мистического, размытого, неясного, что человеку дано умение разрушать стену незнания, и это умение можно развивать и укреплять. Индукция и дедукция ‬два кита, на которых держится решение, ‬призывают на помощь аналогию и интуицию, то есть как раз то, что во ©взрослойªжизни даст будущему гражданину возможность самому определять свое поведение в сложной ситуации .

Как писал еще А.А. Столяр, обучение математике через задачи давно известная проблема. Задачи должны служить и мотивом для дальнейшего развития теории,и возможностью для его эффективного применения. Считая задачный подход наиболее эффективным средством развития учебноматематической деятельности учащихся, он ставил задачу построения педагогически целесообразной системы задач, с помощью которой можно было бы провести ученика последовательно через все аспекты математической деятельности (выявление проблемных ситуаций и задач, математизация конкретных ситуаций, решение задач, мотивирующих расширение теории и т.д.) . Установлено, что решение традиционных задач по математике учит молодого человека мыслить, самостоятельно моделировать и прогнозировать окружающий мир, т.е.в конечном итоге преследует почти те же цели, что и проектная деятельность, за исключением, быть может, приобретения коммуникативных навыков, поскольку чаще всего учителя не предъявляют требований к представлению решений задачи. Поэтому в обучении математике решение задач, видимо, должно остаться основным видом учебной деятельности, а проекты лишь дополнением к нему. Этот важнейший вид учебной деятельности позволяет школьникам усваивать математическую теорию, развивать творческие способности и самостоятельность мышления. Вследствие этого эффективность учебновоспитательного процесса во многом зависит от выбора задач, от способов организации деятельности учащихся по их решению, т.е. методики решения задач. Педагоги, психологи и методисты доказали, что для эффективной реализации целей математического образования необходимо использовать в учебном процессе системы задач с научно обоснованной структурой, в которой место и порядок каждого элемента строго определены и отражают структуру и функции этих задач. Поэтому в своей профессиональной деятельности учитель математики должен стремиться представить содержание обучения математике в значительной степени именно через системы задач. К таким системам предъявляется ряд требований: иерархичность, рациональность объема, нарастание сложности, полнота, целевое назначение каждой задачи, возможность осуществления индивидуального подхода и т.д.

Если школьник решил сложную задачу, то в принципе нет большой разницы, как ученик оформит результат: в виде презентации, доклада или просто нацарапает решение на листе в клетку. Считается достаточным, что он решил задачу. Поэтому выдвигаемые общие требования к презентации результатов проектов: актуальность проблемы и оформление результатов (©артистизм и выразительность выступленияª)‬мало подходят к оценке тех проектов по математике, в основу которых положено решение сложных задач. Однако, исходя из требований современного общества, деятельность по решению задач необходимо совершенствовать, обращая большее внимание на первоначальный этап (осознание места данной задачи в системе математических знаний) и заключительный этап (презентация решения задачи). Если говорить о проектной деятельности, то наболее целесообразным представляется применение в практике обучения межпредметных проектов, реализующих интегративный подход в обучении математике и сразу нескольким естественнонаучным или гуманитарным дисциплинам. У таких проектов более разнообразна и интересна тематика, такие проекты по четыремпятишести дисциплинам самые долгосрочные, поскольку их создание подразумевает обработку большого объема информации. Примеры таких межпредметных проектов приведены в книге П.М.Горева и О.Л. Лунеевой . Результатом подобного макропроекта может быть вебсайт, посвященный теме проекта, база данных, брошюра с итогами работы и т.п. При работе над такими макропроектами учебную деятельность учащийся осуществляет во взаимодействии с другими пользователями сети, т.е.учебная деятельность становится не индивидуальной, а совместной. В силу этого на такое обучение нам надо смотреть как на процесс, происходящий в учебном сообществе. В сообществе, в котором и ученики, и учителя выполняют свои вполне определённые функции. И результат обучения можно расценивать именно с точки зрения исполнения этих функций, а не по тем или иным внешним, формальным параметрам, характеризующим чисто предметное знание у отдельных учащихся. Надо признать, что практика применения ©проектного методаªв школьном обучении математике пока достаточно бедна, все зачастую сводится к нахождениюучеником в Интернете какойто информации на заданную тему и к оформлению ©проектаª. Во многих случаях получается просто имитация проектной деятельности. В силу этих особенностей многие учителя весьма скептически относятся к применению метода проектов в обучении школьников своему предмету: ктото просто не может разобраться в смысле такой деятельности учащихся, ктото не видит результативности этой образовательной технологии применительно к своей дисциплине. Однако эффективность метода проектов для большинства школьных предметов уже неоспорима .Поэтому очень важно, чтобы содержание проектов было не просто связано с математикой, а способствовало преодолению изолированности в ней отдельных тем и разделов, обеспечению целостности и единства в обучении математике, что возможно лишь на основе выделения в ней стержней ‬математических структур.Рассмотрим более подробно применение проектного метода при изучении математического материала младшими школьниками. В силу возрастных особенностей таких учащихсяизучение математического материала, в частности геометрического, носит чисто ознакомительный характер. В то же время проекты позволяют заложить у младших школьников понимание роли геометрии в реальных жизненных ситуациях, возбудить интерес к дальнейшему изучению геометрии. При выполнении этих проектов вполне возможно применение различных программных средств учебного назначения.Для реализации большинства проектов по геометрическому материалу подходят различные компьютерные среды. В начальной школе целесообразно использовать интегрированную компьютерную среду ПервоЛого, программу MicrosoftOfficePowerPoint, а также электронное учебное пособие ©Математика и конструированиеªи ИИСС ©Геометрическое конструирование на плоскости и в пространствеª, которые представлены в Электронной коллекции цифровых образовательных ресурсов и предназначены для свободного применения в учебном процессе.Выбор данных программных продуктов обоснован тем, чтоони соответствуют возрастным особенностям учащихся начальной школы, являются доступными для использования их в учебном процессе, предоставляют большие возможности для реализации проектного метода .Преподавателем Вологодского педколледжа О.Н. Костровой была разработана программа внеурочной деятельности, содержащая комплекс проектов по геометрическому материалу и методические рекомендации для учителей по организации работы над проектами. Основная цель примерной программы‬формирование геометрических представлений младших школьников на основе использования метода учебных проектов. Работа по реализации комплекса проектов направлена на углубление и расширение знаний учащихся по геометрическому материалу, познание окружающего мира с геометрических позиций, формирование умения применять полученные знания в ходе решения учебнопознавательных и учебнопрактических задач с применением программных средств, формирование пространственного и логического мышления. Примерной программой предусмотрено углубленное изучение таких тем, как ©Многоугольникиª, ©Окружность. Кругª, ©План. Масштабª, ©Объемные фигурыª, изучение дополнительных тем ‬знакомство с осевой симметрией, представление числовых данных площади и объема в виде диаграмм. Работа над некоторыми проектами предусматривает использование исторического и краеведческого материала, что способствует повышению познавательного интереса к изучению геометрического материала.Комплекс проектов представлен следующими темами:©Мир линийª, ©Старинные единицы измерения длиныª, ©Красота узоров из многоугольниковª, ©Флаги районов Вологодской областиª, ©Геометрическая сказкаª(2й класс);©Орнаменты Вологодской областиª, ©Паркетª, ©Заметка в газету о круге или окружностиª, ©Меандрª, ©Дачный участокª(3йкласс);©Углыª, ©Загадка пирамидыª, ©Улицы нашего городаª, ©Расчетные работы при строительствеª, работа с конструкторами (4йкласс).

В процессе работы над проектами учащиеся выполняют построение плоских и объемных геометрических фигур, конструирование и моделирование из геометрических фигур других фигур, разнообразных объектов, проводят небольшие исследования по геометрическому материалу.Использование метода проектов при изучении геометрического материала предполагает применение знаний и умений из других предметных областей, что способствует всестороннему развитию учащихся. Данный метод реализует деятельностный подход к обучению, так какобучение происходит в процессе деятельности младших школьников; способствует развитию умения в планировании своей учебной деятельности, решению проблем, компетентности в работе с информацией, коммуникативной компетентности. Таким образом, применение метода проектов при обучении школьников геометрическому материалу позволяет решить целый комплекс задач по расширению и углублению знаний по элементам геометрии, рассмотрению возможностей их применения в практической деятельности, приобретению практических навыков работы с современными программными продуктами, всестороннему развитию индивидуальных способностей школьников.Проекты по математическому материалу для младших школьников представляют собой только первый этап проектной деятельности по математике. На следующих ступенях обучения необходимо продолжать эту деятельность, развивая и углубляя знания школьников об основных математических структурах.Кроме того, применяя проектный методпри обучении математике, не нужно забывать, что решение задач должно оставаться основным видом учебной деятельности. Эту специфическую особенность учебного предмета следует учитывать при разработке проектов, поэтому учебные проекты должны являться средством для отработки школьниками навыковрешения задач, проверки уровня знаний, формирования познавательного интереса к предмету.

Ссылки на источники1.Тестов В. А. Обновление содержания обучения математике: исторические и методологические аспекты: монография. ‬Вологда, ВГПУ, 2012. ‬176 с.2.Тестов В. А. Математические структуры как научнометодическая основа построения математических курсов в системе непрерывного обучения (школа ‬вуз): дис. … дра пед. наук. ‬Вологда, 1998.3.Колмогоров А. Н. К обсуждению работы по проблеме ©Перспективы развития советской школы на ближайшие тридцать летª // Математика в школе. ‬1990. ‬№ 5. ‬С. 59‬61.4.Новиков А. М. Постиндустриальное образование. ‬М.: Издво ©Эгвесª, 2008.5.Образование, которое мы можем потерять: сб. / под общ. ред. ректора МГУ академика В.А. Садовничего ‬М.: МГУ им. М. В. Ломоносова, 2002. ‬С. 72.6.Столяр А. А. Педагогика математики: курс лекций. ‬Минск: Вышэйш. шк., 1969.7.Горев П.М., Лунеева О.Л. Межпредметные проекты учащихся средней школы. Математический и естественнонаучный циклы: учеб.метод.пособие. ‬Киров: Издво МЦИТО, 2014. ‬58 с.8.Там же.9.КостроваО.Н. Программные средства в реализации метода проектов при изучении элементов геометрии младшими школьниками // Научное обозрение: теория и практика. ‬2012. ‬№2. ‬С.41‬48.

Vladimir Testov,

Doctor of Padagogic Sciences, Professor at the chair of Mathematics and Methods of Teaching Mathematics, Vologda State University, Vologda, Russia [email protected] ofpupils’main mathematical notionsformation in modern conditionsAbstract.The paperdiscusses the peculiarities of pupils’mathematical notions the formation in the modern paradigm of education and in the light of the demands,made in the concept of mathematical education. These requirements imply updatingthe content of teaching mathematics at school, bringing it closer to the modern sections and practical applications, the widespread using of project activities. To overcome the existing fragmentation of various mathematical disciplines and the isolation of individual sections,to ensure the integrity and unity in the teaching of mathematics is possible only on by allocatingthemain lines in it. Mathematical structures are therods, the main construction lines of mathematical courses. Phased process of formation of concepts about the basic mathematical structures is a prerequisite for the implementation of the principle of availability of training. Method of projects can be of great help in a phased study of mathematical structures. Application of this method in the study of mathematical structures allows solve a number of tasks to expand and deepen the knowledge of mathematics, consider the possibilities of their application inpractice, the acquisition of practical skills to work with modern software products, the full development of the individual abilities of pupils.Keywords: content of teaching mathematics, mathematical structures, phased process of formation of notions, project method.

References1.Testov,V. A. (2012) Obnovlenie soderzhanija obuchenija matematike: istoricheskie i metodologicheskie aspekty: monografija, VGPU, Vologda, 176 p.(in Russian).2.Testov,V. A. (1998) Matematicheskie struktury kak nauchnometodicheskaja osnova postroenija matematicheskih kursov v sisteme nepreryvnogo obuchenija (shkola ‬vuz): dis. … dra ped. nauk, Vologda(in Russian).3.Kolmogorov,A. N. (1990) “K obsuzhdeniju raboty po probleme ‘Perspektivy razvitija sovetskoj shkoly na blizhajshie tridcat" let’”, Matematika v shkole, № 5, pp. 59‬61(in Russian).4.Novikov,A. M.(2008) Postindustrial"noe obrazovanie, Izdvo “Jegves”,Moscow(in Russian).5.V. A. Sadovnichij (ed.)(2002) Obrazovanie, kotoroe my mozhem poterjat": sb. MGU im. M. V. Lomonosova, Moscow,p.72(in Russian).6.Stoljar,A. A. (1969) Pedagogika matematiki: kurs lekcij,Vyshjejsh. shk.,Minsk(in Russian).7.Gorev,P. M. &Luneeva,O. L. (2014) Mezhpredmetnye proekty uchashhihsja srednej shkoly. Matematicheskij i estestvennonauchnyj cikly: ucheb.metod. posobie, Izdvo MCITO, Kirov, 58 p.(in Russian).8.Ibid.9.Kostrova,O. N. (2012) “Programmnye sredstva v realizacii metoda proektov pri izuchenii jelementov geometrii mladshimi shkol"nikami”,Nauchnoe obozrenie: teorija i praktika,№ 2,pp.41‬48(inRussian).

Некрасовой Г.Н., доктором педагогических наук, профессором, членом редакционной коллегиижурнала ©Концептª

Лекция 5. Математические понятия

1. Объем и содержание понятия. Отношения между понятиями

2. Определение понятий. Определяемые и неопределяемые понятия.

3. Способы определения понятий.

4. Основные выводы

Понятия, которые изучаются в начальном курсе математики, обычно представляют в виде четырех групп. В первую включаются понятия, связанные с числами и операциями над ними: число, сложение, слагаемое, больше и др. Во вторую входят алгебраические понятия: выражение, равенство, уравнения и др. Третью группу составляют геометрические понятия: прямая, отрезок, треугольник и т.д. Четвертую группу образуют понятия, связанные с величинами и их измерением.

Чтобы изучать все разнообразие понятий, надо иметь представление о понятии как логической категории и особенностях математических понятий.

В логике понятия рассматривают как форму мысли , отражающую объекты (предметы и явления) в их существенных и общих свойствах. Языковой формой понятия является слово (термин) или группа слов.

Составить понятие об объекте – это значит уметь отличить его от других сходных с ним объектов. Математические понятия обладают рядом особенностей. Главная заключается в том, что математические объекты, о которых необходимо составить понятие, в реальности не существуют. Математические объекты созданы умом человека. Это идеальные объекты, отражающие реальные предметы или явления. Например, в геометрии изучают форму и размеры предметов, не принимая во внимание другие свойства: цвет, массу, твердость и т.д. От всего этого абстрагируются. Поэтому в геометрии вместо слова «предмет» говорят «геометрическая фигура».

Результатом абстрагирования являются и такие математические понятия, как «число» и «величина».

Вообще математические объекты существуют лишь в мышлении человека и в тех знаках и символах, которые образуют математический язык.

К сказанному можно добавить, что, изучая пространственные формы и количественные отношения материального мира , математика не только пользуется различными приемами абстрагирования, но и само абстрагирование выступает как многоступенчатый процесс. В математике рассматривают не только понятия, появившиеся при изучении реальных предметов, но и понятия, возникшие на основе первых. Например, общее понятие функции как соответствия является обобщением понятий конкретных функции, т.е. абстракцией от абстракций.

Объем и содержание понятия. Отношения между понятиями

Всякий математический объект обладает определенными свойствами. Например, квадрат имеет четыре стороны, четыре прямых угла, равные диагонали. Можно указать и другие его свойства.

Среди свойств объекта различают существенные и несущественные . Свойство считают существенным для объекта, если оно присуще этому объекту и без него он не может существовать . Например, для квадрата существенными являются все свойства, названные выше. Несущественно для квадрата АВСD свойство «сторона АВ горизонтальна».

Когда говорят о математическом понятии, то обычно имеют в виду множество объектов, обозначаемых одним термином (словом или группой слов). Так, говоря о квадрате, имеют в виду все геометрические фигуры, являющиеся квадратами. Считают, что множество всех квадратов составляет объем понятия «квадрат».

Вообще, объем понятия – это множество всех объектов, обозначаемых одним термином.

Любое понятие имеет не только объем, но и содержание.

Рассмотрим, например, понятие «прямоугольник».

Объем понятия – это множество различных прямоугольников, а в его содержание входят такие свойства прямоугольников, как «иметь четыре прямых угла», «иметь равные противоположные стороны», «иметь равные диагонали» и т.д.

Между объемом понятия и его содержанием существует взаимосвязь: если увеличивается объем понятия, то уменьшается его содержание, и наоборот . Так, например, объем понятия «квадрат» является частью объема понятия «прямоугольник», а в содержании понятия «квадрат» содержится больше свойств, чем в содержании понятия «прямоугольник» («все стороны равны», «диагонали взаимно перпендикулярны» и др.).

Любое понятие нельзя усвоить, не осознав его взаимосвязи с другими понятиями. Поэтому важно знать, в каких отношениях могут находиться понятия, и уметь устанавливать эти связи.

Отношения между понятиями тесно связаны с отношениями между их объемами, т.е. множествами.

Условимся понятия обозначать строчными буквами латинского алфавита: а, b, c, d, …, z.

Пусть заданы два понятия а и b. Объемы их обозначим соответственно А и В.

Если А ⊂ В (А ≠ В), то говорят, что понятие а – видовое по отношению к понятию b, а понятие b – родовое по отношению к понятию а.

Например, если а – «прямоугольник», b – «четырехугольник», то их объемы А и В находятся в отношении включения (А ⊂ В и А ≠ В), поэтому всякий прямоугольник является четырехугольником. Поэтому можно утверждать, что понятие «прямоугольник» - видовое по отношению к понятию «четырехугольник», а понятие «четырехугольник» - родовое по отношению к понятию «прямоугольник».

Если А = В, то говорят, что понятия А и В тождественны.

Например, тождественны понятия «равносторонний треугольник» и «равнобедренный треугольник», так как их объемы совпадают.

Рассмотрим подробнее отношение рода и вида между понятиями.

1. Во-первых, понятия рода и вида относительны: одно и то же понятие может быть родовым по отношению к одному понятию и видовым по отношению к другому. Например, понятие «прямоугольник» - родовое по отношению к понятию «квадрат» и видовое по отношению к понятию «четырехугольник».

2. Во-вторых, для данного понятия часто можно указать несколько родовых понятий. Так, для понятия «прямоугольник» родовыми являются понятия «четырехугольник», «параллелограмм», «многоугольник». Среди указанных можно указать ближайшее. Для понятия «прямоугольник» ближайшим является понятие «параллелограмм».

3. В-третьих, видовое понятие обладает всеми свойствами родового понятия. Например, квадрат, являясь видовым понятием по отношению к понятию «прямоугольник», обладает всеми свойствами, присущими прямоугольнику.

Так как объем понятия – множество, удобно, устанавливая отношения между объемами понятий, изображать их при помощи кругов Эйлера.

Установим, например, отношения между следующими парами понятий а и b, если:

1) а – «прямоугольник», b – «ромб»;

2) а – «многоугольник», b – «параллелограмм»;

3) а – «прямая», b – «отрезок».

Отношения между множествами отображены на рисунке соответственно

2. Определение понятий . Определяемые и неопределяемые понятия.

Появление в математике новых понятий, а значит, и новых терминов, обозначающих эти понятия, предполагает их определение.

Определением обычно называют предложение, разъясняющее суть нового термина (или обозначения). Как правило, делают это на основе ранее введенных понятий. Например, прямоугольник можно определить так: «Прямоугольником называется четырехугольник, у которого все углы прямые». В этом определении есть две части – определяемое понятие (прямоугольник) и определяющее понятие (четырехугольник, у которого все углы прямые). Если обозначить через а первое понятие, а через b – второе, то данное определение можно представить в таком виде:

а есть (по определению) b.

Слова «есть (по определению)» обычно заменяют символом ⇔, и тогда определение выглядит так:

Читают: «а равносильно b по определению». Можно прочитать эту запись еще и так: «а тогда и только тогда, когда b.

Определения, имеющие такую структуру, называются явными . Рассмотрим их подробнее.

Обратимся ко второй части определения «прямоугольник».

В нем можно выделить:

1) понятие «четырехугольник», которое является родовым по отношению к понятию «прямоугольник».

2) свойство «иметь все углы прямые», которое позволяет выделить из всевозможных четырехугольников один вид – прямоугольники; поэтому его называют видовым отличием.

Вообще видовое отличие – это свойства (одно или несколько), которые позволяют выделить определяемые объекты из объема родового понятия.

Итоги нашего анализа можно представить в виде схемы:

Знак «+» используется как замена частица «и».

Нам известно, что любое понятие имеет объем. Если понятие а определено через род и видовое отличие, то о его объеме – множестве А – можно сказать, что в нем содержатся такие объекты, которые принадлежат множеству С (объему родового понятия с) и обладают свойством Р:

А = {х/ х ∈ С и Р(х)}.

Так как определение понятия через род и видовое отличие является по существу условным соглашением о введении нового термина для замены какой-либо совокупности известных терминов, то об определении нельзя сказать, верное оно или неверное; его не доказывают и не опровергают. Но, формулируя определения, придерживаются ряда правил. Назовем их.

1. Определение должно быть соразмерным . Это означает, что объемы определяемого и определяющего понятий должны совпадать.

2. В определении (или их системе) не должно быть порочного круга . Это означает, что нельзя определять понятие через само себя.

3. Определение должно быть ясным . Требуется, например, чтобы значения терминов, входящих в определяющее понятие, были известны к моменту введения определения нового понятия.

4. Одно и то же понятие определить через род и видовое отличие, соблюдая сформулированные выше правила, можно по-разному . Так, квадрат можно определить как:

а) прямоугольник, у которого соседние стороны равны;

б) прямоугольник, у которого диагонали взаимно перпендикулярны;

в) ромб, у которого есть прямой угол;

г) параллелограмм, у которого все стороны равны, а углы прямые.

Различные определения одного и того же понятия возможны потому, что из большого числа свойств, входящих в содержание понятия, в определение включаются только некоторые. И тогда из возможных определений выбирают одно, исходят из того, какое из них проще и целесообразнее для дальнейшего построения теории.

Назовем ту последовательность действий, которую мы должны соблюдать, если хотим воспроизвести определение знакомого понятия или построить определение нового:

1. Назвать определяемое понятие (термин).

2. Указать ближайшее родовое понятие (по отношению к определяемому) понятие.

3. Перечислить свойства, выделяющие определяемые объекты из объема родового, т.е сформулировать видовое отличие.

4. Проверить, выполнены ли правила определения понятия (соразмерно ли оно, нет ли порочного круга и т.д.).

Лекция 5. Математические понятия

1. Объем и содержание понятия. Отношения между понятиями

2. Определение понятий. Определяемые и неопределяемые понятия.

3. Способы определения понятий.

4. Основные выводы

Чтобы изучать все разнообразие понятий, нужно иметь представление о понятии как логической категории и особенностях математических понятий.

Составить понятие об объекте - ϶ᴛᴏ значит уметь отличить его от других сходных с ним объектов. Математические понятия обладают рядом особенностей. Главная состоит по сути в том, что математические объекты, о которых крайне важно составить понятие, в реальности не существуют. Математические объекты созданы умом человека. Это идеальные объекты, отражающие реальные предметы или явления. К примеру, в геометрии изучают форму и размеры предметов, не принимая во внимание другие свойства: цвет, массу, твердость и т.д. От всего этого абстрагируются. По этой причине в геометрии вместо слова «предмет» говорят «геометрическая фигура».

Результатом абстрагирования являются и такие математические понятия, как «число» и «величина».

К сказанному можно добавить, что, изучая пространственные формы и количественные отношения материального мира , математика не только пользуется различными приемами абстрагирования, но и само абстрагирование выступает как многоступенчатый процесс. В математике рассматривают не только понятия, появившиеся при изучении реальных предметов, но и понятия, возникшие на основе первых. К примеру, общее понятие функции как соответствия является обобщением понятий конкретных функции, ᴛ.ᴇ. абстракцией от абстракций.

Объем и содержание понятия. Отношения между понятиями

Всякий математический объект обладает определенными свойствами. К примеру, квадрат имеет четыре стороны, четыре прямых угла, равные диагонали. Можно указать и другие его свойства.

Среди свойств объекта различают существенные и несущественные . Свойство считают существенным для объекта͵ если оно присуще этому объекту и без него он не может существовать . К примеру, для квадрата существенными являются все свойства, названные выше. Несущественно для квадрата АВСD свойство «сторона АВ горизонтальна».

Вообще, объем понятия - ϶ᴛᴏ множество всех объектов, обозначаемых одним термином.

Любое понятие имеет не только объем, но и содержание.

Рассмотрим, к примеру, понятие «прямоугольник».

Объем понятия - ϶ᴛᴏ множество различных прямоугольников, а в его содержание входят такие свойства прямоугольников, как «иметь четыре прямых угла», «иметь равные противоположные стороны», «иметь равные диагонали» и т.д.

Между объемом понятия и его содержанием существует взаимосвязь: если увеличивается объем понятия, то уменьшается его содержание, и наоборот . Так, к примеру, объем понятия «квадрат» является частью объема понятия «прямоугольник», а в содержании понятия «квадрат» содержится больше свойств, чем в содержании понятия «прямоугольник» («все стороны равны», «диагонали взаимно перпендикулярны» и др.).

Любое понятие нельзя усвоить, не осознав его взаимосвязи с другими понятиями. По этой причине важно знать, в каких отношениях могут находиться понятия, и уметь устанавливать эти связи.

Отношения между понятиями тесно связаны с отношениями между их объемами, ᴛ.ᴇ. множествами.

Условимся понятия обозначать строчными буквами латинского алфавита: а, b, c, d, …, z.

Пусть заданы два понятия а и b. Объемы их обозначим соответственно А и В.

В случае если А ⊂ В (А ≠ В), то говорят, что понятие а – видовое по отношению к понятию b, а понятие b – родовое по отношению к понятию а.

К примеру, если а – «прямоугольник», b – «четырехугольник», то их объемы А и В находятся в отношении включения (А ⊂ В и А ≠ В), в связи с этим всякий прямоугольник является четырехугольником. По этой причине можно утверждать, что понятие «прямоугольник» - видовое по отношению к понятию «четырехугольник», а понятие «четырехугольник» - родовое по отношению к понятию «прямоугольник».

В случае если А = В, то говорят, что понятия А и В тождественны.

К примеру, тождественны понятия «равносторонний треугольник» и «равнобедренный треугольник», так как их объемы совпадают.

Рассмотрим подробнее отношение рода и вида между понятиями.

1. В первую очередь, понятия рода и вида относительны: одно и то же понятие может быть родовым по отношению к одному понятию и видовым по отношению к другому. К примеру, понятие «прямоугольник» - родовое по отношению к понятию «квадрат» и видовое по отношению к понятию «четырехугольник».

3. В-третьих, видовое понятие обладает всеми свойствами родового понятия. К примеру, квадрат, являясь видовым понятием по отношению к понятию «прямоугольник», обладает всеми свойствами, присущими прямоугольнику.

Установим, к примеру, отношения между следующими парами понятий а и b, если:

1) а – «прямоугольник», b – «ромб»;

2) а – «многоугольник», b – «параллелограмм»;

3) а – «прямая», b – «отрезок».

Отношения между множествами отображены на рисунке соответственно

2. Определение понятий . Определяемые и неопределяемые понятия.

Определением обычно называют предложение, разъясняющее суть нового термина (или обозначения). Как правило, делают это на основе ранее введенных понятий. К примеру, прямоугольник можно определить так: «Прямоугольником принято называть четырехугольник, у которого все углы прямые». В этом определении есть две части – определяемое понятие (прямоугольник) и определяющее понятие (четырехугольник, у которого все углы прямые). В случае если обозначить через а первое понятие, а через b – второе, то данное определение можно представить в таком виде:

а есть (по определению) b.

Слова «есть (по определению)» обычно заменяют символом ⇔, и тогда определение выглядит так:

Определения, имеющие такую структуру, называются явными . Рассмотрим их подробнее.

Обратимся ко второй части определения «прямоугольник».

В нем можно выделить:

1) понятие «четырехугольник», ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ является родовым по отношению к понятию «прямоугольник».

2) свойство «иметь все углы прямые», ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ позволяет выделить из всевозможных четырехугольников один вид – прямоугольники; в связи с этим его называют видовым отличием.

Вообще видовое отличие - ϶ᴛᴏ свойства (одно или несколько), которые позволяют выделить определяемые объекты из объема родового понятия.

Итоги нашего анализа можно представить в виде схемы:

Знак «+» используется как замена частица «и».

Нам известно, что любое понятие имеет объем. В случае если понятие а определено через род и видовое отличие, то о его объеме – множестве А – можно сказать, что в нем содержатся такие объекты, которые принадлежат множеству С (объему родового понятия с) и обладают свойством Р:

А = {х/ х ∈ С и Р(х)}.

3. Определение должно быть ясным . Требуется, к примеру, чтобы значения терминов, входящих в определяющее понятие, были известны к моменту введения определения нового понятия.

а) прямоугольник, у которого соседние стороны равны;

б) прямоугольник, у которого диагонали взаимно перпендикулярны;

в) ромб, у которого есть прямой угол;

г) параллелограмм, у которого все стороны равны, а углы прямые.

1. Назвать определяемое понятие (термин).

2. Указать ближайшее родовое понятие (по отношению к определяемому) понятие.

4. Проверить, выполнены ли правила определения понятия (соразмерно ли оно, нет ли порочного круга и т.д.).