История числа Пи начинается еще с Древнего Египта и идет параллельно с развитием всей математики. Мы же впервые встречаемся с этой величиной в стенах школы.
Число Пи является, пожалуй, самым загадочным из бесконечного множества других. Ему посвящены стихи, его изображают художники, о нем даже снят фильм. В нашей статье мы рассмотрим историю развития и вычисления, а также области применения константы Пи в нашей жизни.
Число Пи – это математическая константа равная отношению длины окружности к длине ее диаметра. Первоначально оно называлось лудольфово числом, а обозначать его буквой Пи было предложено британским математиком Джонсом в 1706 году. После работ Леонарда Эйлера в 1737 году это обозначение стало общепринятым.
Число Пи является иррациональным, то есть его значение не может быть точно выражено в виде дроби m/n, где m и n - целые числа. Впервые это доказал Иоганн Ламберт в 1761 году.
История развития числа Пи насчитывает уже порядка 4000 лет. Еще древнеегипетским и вавилонским математикам было известно, что отношение длины окружности к диаметру одинаково для любой окружности и значение его равно чуть больше трех.
Архимед предложил математический способ вычисления Пи, в котором он вписывал в окружность и описывал около неё правильные многоугольники. По его расчетам Пи примерно равнялась 22/7 ≈ 3,142857142857143.
Во II веке Чжан Хэн предложил два значения числа Пи: ≈ 3,1724 и ≈ 3,1622.
Индийские математики Ариабхата и Бхаскара нашли приблизительное значение 3,1416.
Самым точным приближением числа Пи на протяжении 900 лет было вычисление китайского математика Цзу Чунчжи, проведенное в 480-х годах. Он вывел, что Пи ≈ 355 / 113 , и показал, что 3,1415926 < Пи < 3,1415927.
До II тысячелетия было вычислено не более 10 цифр числа Пи. Лишь с развитием математического анализа, а особенно с открытием рядов, были осуществлены последующие крупные продвижения в вычислении константы.
В 1400-х годах Мадхава смог вычислить Пи=3,14159265359. Его рекорд удалось побить персидскому математику Аль-Каши в 1424 году. Он в своём труде «Трактат об окружности» привёл 17 цифр числа Пи, 16 из которых оказались верными.
Голландский математик Людольф ван Цейлен дошел в своих вычислениях до 20-ти чисел, отдав на это 10 лет жизни. После его смерти в его записях были обнаружены еще 15 цифр числа Пи. Он завещал, чтобы эти цифры были высечены на его надгробии.
С появлением компьютеров число Пи на сегодняшний день насчитывает несколько триллионов знаков и это не предел. Но, как подмечено в книге «Fractals for the Classroom», при всей важности числа Пи «трудно найти сферы в научных расчетах, где потребовалось бы больше двадцати десятичных знаков».
В нашей жизни число Пи используется во многих научных областях. Физика, электроника, теория вероятностей, химия, строительство, навигация, фармакология - это лишь некоторые из них, которые просто невозможно представить себе без этого загадочного числа.
По материалам сайта Calculator888.ru - Число Пи - значение, история, кто придумал .
ЧИСЛО ПИ
Символ ПИ означает отношение длины окружности к ее диаметру. Впервые в этом смысле символ p был использован У. Джонсом в 1707, а Л. Эйлер, приняв это обозначение, ввел его в научный обиход. Еще в древности математикам было известно, что вычисление значения p и площади круга - задачи, тесно связанные между собой. Древние китайцы и древние евреи считали число p равным 3. Значение числа p, равное 3,1605, содержится в древнеегипетском папирусе писца Ахмеса (ок. 1650 до н. э.). Около 225 до н. э. Архимед, используя вписанный и описанный правильные 96-угольники, приближенно вычислил площадь круга с помощью метода, который привел к значению ПИ, заключенному между 31/7 и 310/71. Другое приближенное значение p, эквивалентное обычному десятичному представлению этого числа 3,1416, известно еще со 2 в.
Л. ван Цейлен (1540-1610) вычислил значение ПИ с 32 десятичными знаками. К концу 17 в. новые методы математического анализа позволили вычислять значение p множеством различных способов. В 1593 Ф. Виет (1540-1603) вывел формулу
В 1665 Дж. Валлис (1616-1703) доказал, что
В 1658 У. Броункер нашел представление числа p в виде непрерывной дроби
Г.Лейбниц в 1673 опубликовал ряд
Ряды позволяют вычислять значение p с любым числом десятичных знаков. В последние годы с появлением электронных вычислительных машин значение p было найдено более чем с 10 000 знаков. С десятью знаками значение ПИ равно 3,1415926536. Как число, ПИ обладает некоторыми интересными свойствами. Например, его нельзя представить в виде отношения двух целых чисел или периодической десятичной дроби; число ПИ трансцендентно, т.е. непредставимо в виде корня алгебраического уравнения с рациональными коэффициентами. Число ПИ входит во многие математические, физические и технические формулы, в том числе и не имеющие непосредственного отношения к площади круга или длине дуги окружности. Например, площадь эллипса A определяется формулой A = pab, где a и b - длины большой и малой полуосей.
Энциклопедия Кольера. - Открытое общество . 2000 .
Смотреть что такое "ЧИСЛО ПИ" в других словарях:
число - Прие моч ное Источник: ГОСТ 111 90: Стекло листовое. Технические условия оригинал документа Смотри также родственные термины: 109. Число бетатронных колебаний … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
Сущ., с., употр. очень часто Морфология: (нет) чего? числа, чему? числу, (вижу) что? число, чем? числом, о чём? о числе; мн. что? числа, (нет) чего? чисел, чему? числам, (вижу) что? числа, чем? числами, о чём? о числах математика 1. Числом… … Толковый словарь Дмитриева
ЧИСЛО, числа, мн. числа, чисел, числам, ср. 1. Понятие, служащее выражением количества, то, при помощи чего производится счет предметов и явлений (мат.). Целое число. Дробное число. Именованное число. Простое число. (см. простой1 в 1 знач.).… … Толковый словарь Ушакова
Абстрактное, лишенное особенного содержания обозначение какоголибо члена некоторого ряда, в котором этому члену предшествует или следует за ним какой нибудь др. определенный член; абстрактный индивидуальный признак, отличающий одно множество от… … Философская энциклопедия
Число - Число грамматическая категория, выражающая количественные характеристики предметов мысли. Грамматическое число одно из проявлений более обшей языковой категории количества (см. Категория языковая) наряду с лексическим проявлением («лексическое… … Лингвистический энциклопедический словарь
Число, приближенно равное 2,718, которое часто встречается в математике и естественных науках. Например, при распаде радиоактивного вещества по истечении времени t от исходного количества вещества остается доля, равная e kt, где k число,… … Энциклопедия Кольера
А; мн. числа, сел, слам; ср. 1. Единица счёта, выражающая то или иное количество. Дробное, целое, простое ч. Чётное, нечётное ч. Считать круглыми числами (приблизительно, считая целыми единицами или десятками). Натуральное ч. (целое положительное … Энциклопедический словарь
Ср. количество, счетом, на вопрос: сколько? и самый знак, выражающий количество, цифра. Без числа; нет числа, без счету, многое множество. Поставь приборы, по числу гостей. Числа римские, арабские или церковные. Целое число, ·противоп. дробь.… … Толковый словарь Даля
ЧИСЛО, а, мн. числа, сел, слам, ср. 1. Основное понятие математики величина, при помощи к рой производится счёт. Целое ч. Дробное ч. Действительное ч. Комплексное ч. Натуральное ч. (целое положительное число). Простое ч. (натуральное число, не… … Толковый словарь Ожегова
ЧИСЛО «Е» (ЕХР), иррациональное число, служащее основанием натуральных ЛОГАРИФМОВ. Это действительное десятичное число, бесконечная дробь, равная 2,7182818284590...., является пределом выражения (1/) при п, стремящемся к бесконечности. По сути,… … Научно-технический энциклопедический словарь
Количество, наличность, состав, численность, контингент, сумма, цифра; день.. Ср. . См. день, количество. небольшое число, несть числа, расти числом... Словарь русских синонимов и сходных по смыслу выражений. под. ред. Н. Абрамова, М.: Русские… … Словарь синонимов
Книги
- Число имени. Тайны нумерологии. Выход из тела для ленивых. Учебник по экстрасенсорике (количество томов: 3) , Лоуренс Ширли. Число имени. Тайны нумерологии. Книга Ширли Б. Лоуренс является всесторонним исследованием древней эзотерической системы – нумерологии. Чтобы научиться использовать вибрации чисел для…
- Число имени. Сакральное значение чисел. Символика Таро (количество томов: 3) , Успенский Петр. Число имени. Тайны нумерологии. Книга Ширли Б. Лоуренс является всесторонним исследованием древней эзотерической системы – нумерологии. Чтобы научиться использовать вибрации чисел для…
Одним из самых загадочных чисел, известных человечеству, безусловно, является число Π (читается - пи). В алгебре это число отражает величину соотношения длины окружности и ее диаметра. Ранее эту величину называли лудольфовым числом. Как и откуда взялось число Пи доподлинно не известно, но математики делят на 3 этапа всю историю числа Π, на древний, классический и эру цифровых компьютеров.
Число П - иррационально, то есть его нельзя представить в виде простой дроби, где числитель и знаменатель целые числа. Поэтому, такое число не имеет окончания и является периодическим. Впервые иррациональность П доказал И. Ламберт в 1761 году.
Кроме этого свойства, число П не может являться еще и корнем какого-нибудь многочлена, а потому является числом свойство, когда было доказано в 1882 году, положило конец почти сакральному спору математиков «о квадратуре круга», который продолжался на протяжении 2 500 лет.
Известно, что первым ввел обозначение этого числа британец Джонс в 1706 году. После того как появились труды Эйлера, использование такого обозначения стало общепринятым.
Чтобы детально разобраться, что такое число Пи, следует сказать, что его использование настолько широко, что трудно даже назвать область науки, в которой бы без него обходятся. Одно из самых простых и знакомых еще из школьной программы значений - это обозначение геометрического периода. Отношение длины круга к длине его диаметра является постоянной и равно 3, 14. Это значение было известно еще древнейшим математикам в Индии, Греции, Вавилоне, Египте. Наиболее ранний вариант вычисления соотношения относится к 1900 году до н. э. Более приближенное к современному значение П вычислил китайский ученый Лю Хуэй, кроме того, он изобрел и быстрый способ такого вычисления. Его величина оставалась общепринятой на протяжении почти 900 лет.
Классический период развития математики ознаменовался тем, что чтобы установить точно, что такое число Пи, ученые стали использовать методы математического анализа. В 1400-х годах индийский математик Мадхава использовал для вычисления теорию рядов и определил период числа П с точностью до 11 цифр после запятой. Первым европейцем, после Архимеда, который исследовал число П и внес значительный вклад в его обоснование, стал голландец Людольф ван Цейлен, который определил уже 15 цифр после запятой, а в завещании написал весьма занимательные слова: «…кому интересно - пусть идет дальше». Именно в честь этого ученого, число П и получило свое первое и единственное за всю историю именное название.
Эпоха компьютерных вычислений привнесла новые детали в понимание сущности числа П. Так, чтобы выяснить, что такое число Пи, в 1949 году впервые была использована вычислительная машина ЭНИАК, одним из разработчиков которой был будущий «отец» теории современных компьютеров Дж. Первое измерение велось на протяжении 70 часов и дало 2037 цифр после запятой в периоде числа П. Отметка в миллион знаков была достигнута в 1973 году. Кроме того, в этот период были установлены и другие формулы, отражающие число П. Так, братья Чудновские смогли найти такую, которая позволила вычислить 1 011 196 691 цифр периода.
Вообще следует отметить, что чтобы ответить на вопрос: "Что такое число Пи?", многие исследования стали напоминать соревнования. Сегодня уже суперкомпьютеры занимаются вопросом, какое же оно на самом деле, число Пи. интересные факты, связанные с этими исследованиями, пронизывают практически всю историю математики.
Сегодня, например, проводятся мировые чемпионаты по запоминанию числа П и фиксируются мировые рекорды, последний принадлежит китайцу Лю Чао, за сутки с небольшим, назвал 67 890 знаков. В мире есть даже праздник числа П, который отмечается как «День числа Пи».
По данным на 2011 год уже установлено 10 триллионов цифр периода числа.
Чему равно число Пи мы знаем и помним со школы. Оно равно 3.1415926 и так далее… Обычному человеку достаточно знать, что это число получается, если разделить длину окружности на ее диаметр. Но многим известно, что число Пи возникает в неожиданных областях не только математики и геометрии, но и в физике. Ну а если вникнуть в подробности природы этого числа, то можно заметить много удивительного среди бесконечного ряда цифр. Возможно ли, что Пи скрывает самые сокровенные тайны Вселенной?
Бесконечное число
Само число Пи возникает в нашем мире как длина окружности, диаметр которой равен единице. Но, несмотря на то, что отрезок равный Пи вполне себе конечен, число Пи начинается, как 3.1415926 и уходит в бесконечность рядами цифр, которые никогда не повторяются. Первый удивительный факт состоит в том, что это число, используемое в геометрии, нельзя выразить в виде дроби из целых чисел. Иначе говоря, вы не сможете его записать отношением двух чисел a/b. Кроме этого число Пи трансцендентное. Это означает, что нет такого уравнения (многочлена) с целыми коэффициентами, решением которого было бы число Пи.
То, что число Пи трансцендентно, доказал в 1882 году немецкий математик фон Линдеман. Именно это доказательство стало ответом на вопрос, можно ли с помощью циркуля и линейки нарисовать квадрат, у которого площадь равна площади заданного круга. Эта задача известна как поиск квадратуры круга, волновавший человечество с древнейших времен. Казалось, что эта задача имеет простое решение и вот-вот будет раскрыта. Но именно непостижимое свойство числа Пи показало, что у задачи квадратуры круга решения не существует.
В течение как минимум четырех с половиной тысячелетий человечество пыталось получить все более точное значение числа Пи. Например, В Библии в Третьей Книги Царств (7:23) число Пи принимается равным 3.
Замечательное по точности значение Пи можно обнаружить в пирамидах Гизы: соотношение периметра и высоты пирамид составляет 22/7. Эта дробь дает приближенное значение Пи, равное 3.142… Если, конечно, египтяне не задали такое соотношение случайно. Это же значение уже применительно к расчету числа Пи получил в III веке до нашей эры великий Архимед.
В папирусе Ахмеса, древнеегипетском учебнике по математике, который датируется 1650 годом до нашей эры, число Пи рассчитано как 3.160493827.
В древнеиндийских текстах примерно IX века до нашей эры наиболее точное значение было выражено числом 339/108, которое равнялось 3,1388…
После Архимеда почти две тысячи лет люди пытались найти способы рассчитать число Пи. Среди них были как известные, так и неизвестные математики. Например, римский архитектор Марк Витрувий Поллион, египетский астроном Клавдий Птолемей, китайский математик Лю Хуэй, индийский мудрец Ариабхата, средневековый математик Леонардо Пизанский, известный как Фибоначчи, арабский ученый Аль-Хорезми, от чьего имени появилось слово «алгоритм». Все они и множество других людей искали наиболее точные методики расчета Пи, но вплоть до 15 века никогда не получали больше чем 10 цифр после запятой в связи со сложностью расчетов.
Наконец, в 1400 году индийский математик Мадхава из Сангамаграма рассчитал Пи с точностью до 13 знаков (хотя в двух последних все-таки ошибся).
Количество знаков
В 17 веке Лейбниц и Ньютон открыли анализ бесконечно малых величин, который позволил вычислять Пи более прогрессивно – через степенные ряды и интегралы. Сам Ньютон вычислил 16 знаков после запятой, но не упомянул это в своих книгах – об этом стало известно после его смерти. Ньютон утверждал, что занимался расчетом Пи исключительно от скуки.
Примерно в то же время подтянулись и другие менее известные математики, предложившие новые формулы расчета числа Пи через тригонометрические функции.
Например, вот по какой формуле рассчитывал Пи преподаватель астрономии Джон Мэчин в 1706 году: PI / 4 = 4arctg(1/5) – arctg(1/239). С помощью методов анализа Мэчин вывел из этой формулы число Пи с сотней знаков после запятой.
Кстати, в том же 1706 году число Пи получило официальное обозначение в виде греческой буквы: его в своем труде по математике использовал Уильям Джонс, взяв первую букву греческого слова «периферия», что означает «окружность». Родившийся в 1707 великий Леонард Эйлер популяризовал это обозначение, нынче известное любому школьнику.
До эры компьютеров математики занимались тем, чтобы рассчитать как можно больше знаков. В связи с этим порой возникали курьезы. Математик-любитель У. Шенкс в 1875 году рассчитал 707 знаков числа Пи. Эти семь сотен знаков увековечили на стене Дворца Открытий в Париже в 1937 году. Однако спустя девять лет наблюдательными математиками было обнаружено, что правильно вычислены лишь первые 527 знаков. Музею пришлось понести приличные расходы, чтобы исправить ошибку – сейчас все цифры верные.
Когда появились компьютеры, количество цифр числа Пи стало исчисляться совершенно невообразимыми порядками.
Один из первых электронных компьютеров ENIAC, созданный в 1946 году, имевший огромные размеры, и выделявший столько тепла, что помещение прогревалось до 50 градусов по Цельсию, вычислил первые 2037 знаков числа Пи. Этот расчет занял у машины 70 часов.
По мере совершенствования компьютеров наше знание числа Пи все дальше и дальше уходило в бесконечность. В 1958 году было рассчитано 10 тысяч знаков числа. В 1987 году японцы высчитали 10 013 395 знаков. В 2011 японский исследователь Сигеру Хондо превысил рубеж в 10 триллионов знаков.
Где еще можно встретить Пи?
Итак, зачастую наши знания о числе Пи остаются на школьном уровне, и мы точно знаем, что это число незаменимо в первую очередь в геометрии.
Помимо формул длины и площади окружности число Пи используется в формулах эллипсов, сфер, конусов, цилиндров, эллипсоидов и так далее: где-то формулы простые и легко запоминающиеся, а где-то содержат очень сложные интегралы.
Затем мы можем встретить число Пи в математических формулах, там, где, на первый взгляд геометрии и не видно. Например, неопределенный интеграл от 1/(1-x^2) равен Пи.
Пи часто используется в анализе рядов. Для примера приведем простой ряд, который сходится к числу Пи:
1/1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 — …. = PI/4
Среди рядов число Пи наиболее неожиданно появляется в известной дзета-функции Римана. Рассказать про нее в двух словах не получится, скажем лишь, что когда-нибудь число Пи поможет найти формулу расчета простых чисел.
И совершенно удивительно: Пи появляется в двух самых красивых «королевских» формулах математики – формуле Стирлинга (которая помогает найти приблизительное значение факториала и гамма-функции) и формуле Эйлера (которая связывает аж целых пять математических констант).
Однако самое неожиданное открытие ожидало математиков в теории вероятности. Там тоже присутствует число Пи.
Например, вероятность того, что два числа окажутся взаимно простыми, равна 6/PI^2.
Пи появляется в задаче Бюффона о бросании иглы, сформулированной в 18 веке: какова вероятность того, что брошенная на расчерченный лист бумаги игла пересечет одну из линий. Если длина иглы L, а расстояние между линиями L, и r > L то мы можем приблизительно рассчитать значение числа Пи по формуле вероятности 2L/rPI. Только представьте – мы можем получить Пи из случайных событий. И между прочим Пи присутствует в нормальном распределении вероятностей, появляется в уравнении знаменитой кривой Гаусса. Значит ли это, что число Пи еще более фундаментально, чем просто отношение длины окружности к диаметру?
Мы можем встретить Пи и в физике. Пи появляется в законе Кулона, который описывает силу взаимодействия между двумя зарядами, в третьем законе Кеплера, который показывает период обращения планеты вокруг Солнца, встречается даже в расположении электронных орбиталей атома водорода. И что опять же самое невероятное – число Пи прячется в формуле принципа неопределенности Гейзенберга – фундаментального закона квантовой физики.
Тайны числа Пи
В романе Карла Сагана «Контакт», по которому снят одноименный фильм, инопланетяне сообщают героине, что среди знаков Пи содержится тайное послание от Бога. С некоторой позиции цифры в числе перестают быть случайными и представляют себе код, в котором записаны все секреты Мироздания.
Этот роман на самом деле отразил загадку, занимающую умы математиков всей планеты: является ли число Пи нормальным числом, в котором цифры разбросаны с одинаковой частотой, или с этим числом что-то не так. И хотя ученые склоняются к первому варианту (но не могут доказать), число Пи выглядит очень загадочно. Один японец как то подсчитал, сколько раз встречаются числа от 0 до 9 в первом триллионе знаков Пи. И увидел, что числа 2, 4 и 8 встречаются чаще, чем остальные. Это может быть одним из намеков на то, что Пи не совсем нормальное, и цифры в нем действительно не случайны.
Вспомним всё, что мы прочли выше, и спросим себя, какое еще иррациональное и трансцендентное число так часто встречается в реальном мире?
А в запасе имеются еще странности. Например, сумма первых двадцати цифр Пи равна 20, а сумма первых 144 цифр равна «числу зверя» 666.
Главный герой американского сериала «Подозреваемый» профессор Финч рассказывал студентам, что в силу бесконечности числа Пи в нем могут встретиться любые комбинации цифр, начиная от цифр даты вашего рождения до более сложных чисел. Например, на 762-ой позиции находится последовательность из шести девяток. Эта позиция называется точкой Фейнмана в честь известного физика, который заметил это интересное сочетание.
Нам известно также, что число Пи содержит последовательность 0123456789, но находится она на 17 387 594 880-й цифре.
Все это означает, что в бесконечности числа Пи можно обнаружить не только интересные сочетания цифр, но и закодированный текст «Войны и Мира», Библии и даже Главную Тайну Мироздания, если таковая существует.
Кстати, о Библии. Известный популяризатор математики Мартин Гарднер в 1966 году заявил, что миллионным знаком числа Пи (на тот момент еще неизвестным) будет число 5. Свои расчеты он объяснил тем, что в англоязычной версии Библии, в 3-й книге, 14-й главе, 16-м стихе (3-14-16) седьмое слово содержит пять букв. Миллионную цифру получили спустя восемь лет. Это было число пять.
Стоит ли после этого утверждать, что число Пи случайно?
Введение
В статье присутствуют математические формулы, поэтому для чтения перейдите на сайт для их корректного отображения. Число \(\pi \) имеет богатую историю. Данная константа обозначает отношение длины окружности к ее диаметру.
В науке число \(\pi \) используют в любых расчетах, где есть окружности. Начиная от объема банки газировки, до орбит спутников. И не только окружности. Ведь в изучении кривых линий число \(\pi \) помогает понять периодические и колебательные системы. Например, электромагнитные волны и даже музыку.
В 1706 году в книге «Новое введение в математику» британского ученого Уильяма Джонса (1675-1749 гг.) для обозначения числа 3,141592… впервые была использована буква греческого алфавита \(\pi \). Это обозначение происходит от начальной буквы греческих слов περιϕερεια — окружность, периферия и περιµετρoς — периметр. Общепринятым обозначение стало после работ Леонарда Эйлера в 1737 году.
Геометрический период
Постоянство отношения длины любой окружности к её диаметру было замечено уже давно. Жители Междуречья применяли довольно грубое приближение числа \(\pi \). Как следует из древних задач, в своих расчетах они используют значение \(\pi ≈ 3 \).
Более точное значение для \(\pi \) использовали древние египтяне. В Лондоне и Нью-Йорке хранятся две части древнеегипетского папируса, который называют «папирус Ринда». Папирус был составлен писцом Армесом примерно между 2000-1700 гг. до н.э.. Армес в своем папирусе написал, что площадь круга с радиусом \(r\) равна площади квадрата со стороной, равной \(\frac{8}{9} \) от диаметра окружности \(\frac{8}{9} \cdot 2r \), то есть \(\frac{256}{81} \cdot r^2 = \pi r^2 \). Отсюда \(\pi = 3,16\).
Древнегреческий математик Архимед (287-212 гг. до н.э.) впервые поставил задачу измерения круга на научную почву. Он получил оценку \(3\frac{10}{71} < \pi < 3\frac{1}{7}\), рассмотрев отношение периметров вписанного и описанного 96-угольника к диаметру окружности. Архимед выразил приближение числа \(\pi \) в виде дроби \(\frac{22}{7}\), которое до сих называется архимедовым числом.
Метод достаточно простой, но при отсутствии готовых таблиц тригонометрических функций потребуется извлечение корней. Кроме этого, приближение сходится к \(\pi \) очень медленно: с каждой итерацией погрешность уменьшается лишь вчетверо.
Аналитический период
Несмотря на это, до середины 17 века все попытки европейских учёных вычислить число \(\pi \) сводились к увеличению сторон многоугольника. Так например, голландский математик Лудольф ван Цейлен (1540-1610 гг.) вычислил приближенное значение числа \(\pi \) с точностью до 20-ти десятичных цифр.
На вычисление ему понадобилось 10 лет. Удваивая по методу Архимеда число сторон вписанных и описанных многоугольников, он дошел до \(60 \cdot 2^{29} \) — угольника с целью вычисления \(\pi \) с 20 десятичными знаками.
После смерти в его рукописях были обнаружены ещё 15 точных цифр числа \(\pi \). Лудольф завещал, чтобы найденные им знаки были высечены на его надгробном камне. В честь него число \(\pi \) иногда называли «лудольфовым числом» или «константой Лудольфа».
Одним из первых, кто представил метод, отличный от метода Архимеда, был Франсуа Виет (1540-1603 гг.). Он пришел к результату , что круг, диаметр которого равен единице, имеет площадь:
\[\frac{1}{2 \sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}} } \cdot \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2} \cdots }}}} \]
С другой стороны, площадь равна \(\frac{\pi}{4} \). Подставив и упростив выражение, можно получить следующую формулу бесконечного произведения для вычисления приближенного значения \(\frac{\pi}{2} \):
\[\frac{\pi}{2} = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2 + \sqrt{2}}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2+ \sqrt{2 + \sqrt{2}}}} \cdots \]
Полученная формула представляет собой первое точное аналитическое выражение для числа \(\pi \). Кроме этой формулы, Виет, используя метод Архимеда, дал с помощью вписанных и описанных многоугольников, начиная с 6-угольника и заканчивая многоугольником с \(2^{16} \cdot 6 \) сторонами приближение числа \(\pi \) с 9 правильными знаками.
Английский математик Уильям Броункер (1620-1684 гг.), используя цепную дробь , получил следующие результаты вычисления \(\frac{\pi}{4}\):
\[\frac{4}{\pi} = 1 + \frac{1^2}{2 + \frac{3^2}{2 + \frac{5^2}{2 + \frac{7^2}{2 + \frac{9^2}{2 + \frac{11^2}{2 + \cdots }}}}}} \]
Данный метод вычисления приближения числа \(\frac{4}{\pi} \) требует довольно больших вычислений, чтобы получить хотя бы небольшое приближение.
Получаемые в результате подстановки значения то больше, то меньше числа \(\pi \), и каждый раз все ближе к истинному значению, но для получения значения 3,141592 потребуется совершить довольно большие вычисления.
Другой английский математик Джон Мэчин (1686-1751 гг.) в 1706 году для вычисления числа \(\pi \) со 100 десятичными знаками воспользовался формулой, выведенной Лейбницем в 1673 году, и применил её следующим образом:
\[\frac{\pi}{4} = 4 arctg\frac{1}{5} — arctg\frac{1}{239} \]
Ряд быстро сходится и с его помощью можно вычислить число \(\pi \) с большой точностью. Формулы подобного типа использовались для установки нескольких рекордов в эпоху компьютеров.
В XVII в. с началом периода математики переменной величины наступил новый этап в вычислении \(\pi \). Немецкий математик Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716 гг.) в 1673 году нашел разложение числа \(\pi \), в общем виде его можно записать следующим бесконечным рядом:
\[ \pi = 1 — 4(\frac{1}{3} + \frac{1}{5} — \frac{1}{7} + \frac{1}{9} — \frac{1}{11} + \cdots) \]
Ряд получается при подстановке x = 1 в \(arctg x = x — \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} — \frac{x^7}{7} + \frac{x^9}{9} — \cdots\)
Леонард Эйлер развивает идею Лейбница в своих работах, посвященных использованию рядов для arctg x при вычислении числа \(\pi \). В трактате «De variis modis circuli quadraturam numeris proxime exprimendi» (О различных методах выражения квадратуры круга приближенными числами), написанном в 1738 году, рассматриваются методы усовершенствования вычислений по формуле Лейбница.
Эйлер пишет о том, что ряд для арктангенса будет сходиться быстрее, если аргумент будет стремиться к нулю. Для \(x = 1\) сходимость ряда очень медленная: для вычисления с точностью до 100 цифр необходимо сложить \(10^{50}\) членов ряда. Ускорить вычисления можно, уменьшив значение аргумента. Если принять \(x = \frac{\sqrt{3}}{3}\), то получается ряд
\[ \frac{\pi}{6} = artctg\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}(1 — \frac{1}{3 \cdot 3} + \frac{1}{5 \cdot 3^2} — \frac{1}{7 \cdot 3^3} + \cdots) \]
По утверждению Эйлера, если мы возьмем 210 членов этого ряда, то получим 100 верных знаков числа. Полученный ряд неудобен, потому что необходимо знать достаточно точное значение иррационального числа \(\sqrt{3} \). Также Эйлер в своих вычислениях использовал разложения арктангенсов на сумму арктангенсов меньших аргументов :
\[где x = n + \frac{n^2-1}{m-n}, y = m + p, z = m + \frac{m^2+1}{p} \]
Далеко не все формулы для вычисления \(\pi \), которые использовал Эйлер в своих записных книжках, были опубликованы. В опубликованных работах и записных книжках он рассмотрел 3 различных ряда для вычисления арктангенса, а также привел множество утверждений, касающихся количества суммируемых членов, необходимых для получения приближенного значения \(\pi \) c заданной точностью.
В последующие годы уточнения значения числа \(\pi \) происходили все быстрее и быстрее. Так, например, в 1794 году Георг Вега (1754-1802 гг.) определил уже 140 знаков , из который только 136 оказались верными.
Период компьютерных вычислений
XX век ознаменован совершенно новым этапом в вычислении числа \(\pi \). Индийский математик Сриниваса Рамануджан (1887-1920 гг.) обнаружил множество новых формул для \(\pi \). В 1910 году он получил формулу для вычисления \(\pi \) через разложение арктангенса в ряд Тейлора:
\[\pi = \frac{9801}{2\sqrt{2} \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{(1103+26390k) \cdot (4k)!}{(4\cdot99)^{4k} (k!)^2}} .\]
При k=100 достигается точность в 600 верных цифр числа \(\pi \).
Появление ЭВМ позволило существенно увеличить точность получаемых значений за более короткие сроки. В 1949 году всего за 70 часов с помощью ENIAC группа ученых под руководством Джона фон Неймана (1903-1957 гг.) получила 2037 знаков после запятой числа \(\pi \) . Давид и Грегорий Чудновские в 1987 году получили формулу, с помощью которой смогли установить несколько рекордов в вычислении \(\pi \):
\[\frac{1}{\pi} = \frac{1}{426880\sqrt{10005}} \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^3(-640320)^{3k}}.\]
Каждый член ряда дает по 14 цифр. В 1989 году было получено 1 011 196 691 цифр после запятой. Данная формула хорошо подходит для вычисления \(\pi \) на персональных компьютерах. На данный момент братья являются профессорами в политехническом институте Нью-Йоркского университета.
Важным событием недавнего времени стало открытие формулы в 1997 году Саймоном Плаффом . Она позволяет извлечь любую шестнадцатеричную цифру числа \(\pi \) без вычисления предыдущих. Формула носит название «Формула Бэйли — Боруэйна — Плаффа» в честь авторов статьи, где формула была впервые опубликована. Она имеет следующий вид:
\[\pi = \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{16^k} (\frac{4}{8k+1} — \frac{2}{8k+4} — \frac{1}{8k+5} — \frac{1}{8k+6}) .\]
В 2006 году Саймон, используя PSLQ, получил несколько красивых формул для вычисления \(\pi \). Например,
\[ \frac{\pi}{24} = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} (\frac{3}{q^n — 1} — \frac{4}{q^{2n} -1} + \frac{1}{q^{4n} -1}), \]
\[ \frac{\pi^3}{180} = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3} (\frac{4}{q^{2n} — 1} — \frac{5}{q^{2n} -1} + \frac{1}{q^{4n} -1}), \]
где \(q = e^{\pi}\). В 2009 году японские ученые, используя суперкомпьютер T2K Tsukuba System, получили число \(\pi \) c 2 576 980 377 524 десятичными знаками после запятой. Вычисления заняли 73 часа 36 минут. Компьютер был оснащен 640-ка четырех ядерными процессорами AMD Opteron, что обеспечило производительность в 95 триллионов операций в секунду.
Следующее достижение в вычислении \(\pi \) принадлежит французскому программисту Фабрису Беллару , который в конце 2009 года на своем персональном компьютере под управлением Fedora 10 установил рекорд, вычислив 2 699 999 990 000 знаков после запятой числа \(\pi \). За последние 14 лет это первый мировой рекорд, который поставлен без использования суперкомпьютера. Для высокой производительности Фабрис использовал формулу братьев Чудновских. В общей сложности вычисление заняло 131 день (103 дня расчеты и 13 дней проверка результата). Достижение Беллара показало, что для таких вычислений не обязательно иметь суперкомпьютер.
Всего через полгода рекорд Франсуа был побит инженерами Александром Йи и Сингеру Кондо. Для установления рекорда в 5 триллионов знаков после запятой числа \(\pi \) был также использован персональный компьютер, но уже с более внушительными характеристиками: два процессора Intel Xeon X5680 по 3,33 ГГц, 96 ГБ оперативной памяти, 38 ТБ дисковой памяти и операционная система Windows Server 2008 R2 Enterprise x64. Для вычислений Александр и Сингеру использовали формулу братьев Чудновских. Процесс вычисления занял 90 дней и 22 ТБ дискового пространства. В 2011 году они установили еще один рекорд , вычислив 10 триллионов десятичных знаков числа \(\pi \). Вычисления происходили на том же компьютере, на котором был поставлен их предыдущий рекорд и занял в общей сложности 371 день. В конце 2013 года Александр и Сингеру улучшили рекорд до 12,1 триллиона цифр числа \(\pi \), вычисление которых заняло у них всего 94 дня. Такое улучшение в производительности достигнуто благодаря оптимизации производительности программного обеспечения, увеличения количества ядер процессора и значительного улучшения отказоустойчивости ПО.
Текущим рекордом является рекорд Александра Йи и Сингеру Кондо, который составляет 12,1 триллиона цифр после запятой числа \(\pi \).
Таким образом, мы рассмотрели методы вычисления числа \(\pi \), используемые в древние времена, аналитические методы, а также рассмотрели современные методы и рекорды по вычислению числа \(\pi \) на компьютерах.
Список источников
- Жуков А.В. Вездесущее число Пи – М.:Изд-во ЛКИ, 2007 – 216 с.
- Ф.Рудио. О квадратуре круга, с приложением истории вопроса, составленной Ф.Рудио. / Рудио Ф. – М.: ОНТИ НКТП СССР, 1936. – 235c.
- Arndt, J. Pi Unleashed / J. Arndt, C. Haenel. – Springer, 2001. – 270p.
- Шухман, Е.В. Приближенное вычисление числа Пи с помощью ряда для arctg x в опубликованных и неопубликованных работах Леонарда Эйлера / Е.В. Шухман. — История науки и техники, 2008 – №4. – С. 2-17.
- Euler, L. De variis modis circuli quadraturam numeris proxime exprimendi/ Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae. 1744 – Vol.9 – 222-236p.
- Шумихин, С. Число Пи. История длиною в 4000 лет / С. Шумихин, А. Шумихина. — М.: Эксмо, 2011. — 192с.
- Борвейн, Дж.М. Рамануджан и число Пи. / Борвейн, Дж.М., Борвейн П.Б. В мире науки. 1988 – №4. – С. 58-66.
- Alex Yee. Number world. Access mode: numberworld.org
Понравилось?
Расскажи
Loading...