Подобные документы
Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Теорема существования, единственности решения задачи Коши. Общее решение дифференциального уравнения, изображаемое семейством интегральных кривых на плоскости. Способ нахождения огибающей семейства кривых.
реферат , добавлен 24.08.2015
Порядок и процедура поиска решения дифференциального уравнения. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения первого порядка, с разделяющими переменными.
лекция , добавлен 24.11.2010
Сущность понятия "дифференциальное уравнение". Главные этапы математического моделирования. Задачи, приводящие к решению дифференциальных уравнений. Решение задач поиска. Точность маятниковых часов. Решение задачи на определение закона движения шара.
курсовая работа , добавлен 06.12.2013
Особенности дифференциальных уравнений как соотношения между функциями и их производными. Доказательство теоремы существования и единственности решения. Примеры и алгоритм решения уравнений в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель в примерах.
курсовая работа , добавлен 11.02.2014
Анализ методов решения систем дифференциальных уравнений, которыми можно описать поведение материальных точек в силовом поле, законы химической кинетики, уравнения электрических цепей. Этапы решения задачи Коши для системы дифференциальных уравнений.
курсовая работа , добавлен 12.06.2010
Понятие о голоморфном решении задачи Коши. Теорема Коши о существовании и единственности голоморфного решения задачи Коши. Решение задачи Коши для линейного уравнения второго порядка при помощи степенных рядов. Интегрирование дифференциальных уравнений.
курсовая работа , добавлен 24.11.2013
Установление прямой зависимости между величинами при изучении явлений природы. Свойства дифференциальных уравнений. Уравнения высших порядков, приводящиеся к квадратурам. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
курсовая работа , добавлен 04.01.2016
Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям, связывающих независимую переменную, искомую функцию и ее производную. Нахождение матрицы. Исследование функции и построение ее графика. Определение площади фигуры, ограниченной прямой и параболой.
контрольная работа , добавлен 14.03.2017
Описание колебательных систем дифференциальными уравнениями с малым параметром при производных, асимптотическое поведение их решений. Методика регулярных возмущений и особенности ее применения при решении задачи Коши для дифференциальных уравнений.
курсовая работа , добавлен 15.06.2009
Использование метода конечных разностей для решения краевой задачи уравнений с частными производными эллиптического типа. Графическое определение распространения тепла методом конечно-разностных аппроксимаций производных с применением пакета Mathlab.
Перенесем данные габл. 6.2 на график (рис. 6.1). Отложив на горизонтальной оси затраты труда, а на вертикальной - объем выпуска, можно построить кривые совокупного, среднего и предельного продуктов. Графически величина МР определяется тангенсом угла наклона касательной к кривой общего продукта в точке, соответствующей определенному его объему, величина АР - тангенсом угла наклона луча, идущего из начала координат к этой же точке.
При построении кривой предельного продукта соответствующие значения МР надо откладывать на середине отрезка ДL (если МР = 39, то на графике это значение откладывают при L = 2,5).
Как следует из табл. 6.2 и графиков на рис. 6.1, я и б, ввод дополнительных единиц переменного ресурса (в нашем случае - труда) при фиксированном значении капитала приводит к постоянному росту суммарного продукта ТР. Однако более тщательный анализ показывает, что этот рост происходит неравномерно: на участке (О - L t) приращения ДТР при одних и тех же приращениях ДL возрастают (кривая ТР имеет вогнутый вид), а с дальнейшим ростом количества примененных единиц труда приращения АТР сокращаются (кривая ГР становится выпуклой).
Рис. 6.1. Кривые суммарного (а), среднего и предельного (б)
продукта
Подобное изменение объемов выпуска товаров и услуг в зависимости от увеличения вводимых единиц переменного фактора отражает действие одного из фундаментальных законов экономики - закона уменьшающейся отдачи ресурса. Согласно этому закону введение дополнительных единиц переменного ресурса при неизменной величине постоянного фактора непременно приведет к ситуации, когда каждая последующая единица переменного фактора начнет прибавлять к суммарному продукту меньше, чем его предыдущая единица.
Это равносильно утверждению, что при перечисленных выше условиях обязательно наступит момент, когда дальнейшее увеличение единиц используемого переменного фактора вызовет снижение предельного продукта, поэтому иногда этот закон называют законом непременного снижения предельного продукта.
Общий смысл закона снижающейся отдачи состоит в том, что использование в производстве товара постоянного фактора ограничивает приросты объемов выпуска этого товара при последовательном увеличении количества единиц используемого переменного ресурса.
Как можно объяснить действие закона уменьшающейся отдачи ресурса? При одном фиксированном факторе (капитале) ввод дополнительных единиц переменного фактора (труда) на первых порах (участок OL {) позволяет эффективно использовать разделение труда. Это приводит к тому, что каждый дополнительный рабочий производит все большее количество товаров и услуг, т.е. растет предельный продукт. Однако в какой-то момент очередной рабочий станет лишним - все возможности разделения труда исчерпаны, и ему придется ждать, когда освободится станок, чтобы применить свой труд. С этого момента услуги каждого последующего рабочего будут все более бесполезны, что вызовет дальнейшее снижение предельного продукта. Теоретически может возникнуть ситуация, когда дополнительный рабочий начнет мешать производству, и это вызовет снижение объемов выпуска продукции. В таком случае значения предельного продукта станут отрицательными и кривая МР пересечет ось абсцисс, а кривая ТР будет понижаться (гипотетически подобная ситуация происходит в точке L 3 на рис. 6.1, а и б).
Безусловно, данный закон можно трактовать и как закон непременного снижения среднего продукта, поскольку при аналогичных условиях обязательно наступит момент, когда дальнейший рост используемых единиц переменного фактора приведет к снижению среднего продукта.
Пример 2. Предположим, что в производстве 42 единиц товара принимает участие 2 рабочих, которые производят в среднем 21 единицу товара в месяц, т.с. ЛР = TP/L = 42/2 = 21. Пусть фирма нанимает еще одного, третьего рабочего. Если отдача дополнительно нанятого рабочего (т.е. предельный продукт) выше, чем в среднем дает каждый из имеющихся рабочих, например 39 единиц, то величина среднего продукта с учетом найма трех рабочих будет больше 21 единицы:
Это означает, что до тех пор, пока МР > АР , т.е. величина предельного продукта превосходит величину среднего продукта, последняя возрастает; при этом на графике (см. рис. 6.1) кривая предельного продукта располагается выше кривой среднего продукта. Если же МР и кривая предельного продукта проходит ниже кривой среднего продукта, то величина АР уменьшается. Следовательно, кривая МР пересекает кривую АР в точке, где кривая АР имеет максимум.
На данном уроке подробно рассмотрены новые понятия: «масса одного предмета», «количество предметов», «масса всех предметов». Сделан вывод о взаимосвязи данных понятий между собой. Учащимся предоставляется возможность самим потренироваться в решении простых и составных задач на основе полученных знаний.
Решим задачи и узнаем, как связаны между собой понятия «масса одного предмета», «количество предметов», «масса всех предметов».
Прочитаем первую задачу.
Масса пакета с мукой - 2 кг. Узнай массу 4 таких пакетов (рис. 1).
Рис. 1. Иллюстрация к задаче
При решении задачи рассуждаем так: 2 кг - это масса одного пакета, таких пакетов - 4 штуки. Узнаем, сколько весят все пакеты, действием умножения.
Запишем решение.
Ответ: 8 кг весят четыре пакета.
Сделаем вывод: чтобы найти массу всех предметов, нужно массу одного предмета умножить на количество предметов.
Прочитаем вторую задачу.
Масса 4 одинаковых пакетов с мукой - 8 кг. Узнай массу одного пакета (рис. 2).
Рис. 2. Иллюстрация к задаче
Внесем данные из задачи в таблицу.
При решении задачи рассуждаем так: 8 кг - это масса всех пакетов, таких пакетов - 4 штуки. Узнаем, сколько весит один пакет, действием деления.
Запишем решение.
Ответ: 2 кг весит один пакет.
Сделаем вывод: чтобы найти массу одного предмета, нужно массу всех предметов разделить на количество предметов.
Прочитаем третью задачу.
Масса одного пакета с мукой - 2 кг. Сколько пакетов потребуется, чтобы разложить в них поровну 8 кг (рис. 3)?
Рис. 3. Иллюстрация к задаче
Внесем данные из задачи в таблицу.
При решении задачи рассуждаем так: 8 кг - это масса всех пакетов, каждый пакет весит 2 кг. Так как всю муку, 8 кг, раскладывали поровну, по два килограмма, узнаем, сколько пакетов потребуется, действием деления.
Запишем решение.
Ответ: потребуется 4 пакета.
Сделаем вывод: чтобы найти количество предметов, нужно массу всех предметов разделить на массу одного предмета.
Потренируемся соотносить текст задачи с краткой записью.
Подберем краткую запись к каждой задаче (рис. 4).
Рис. 4. Иллюстрация к задаче
Рассмотрим первую задачу.
В 3 одинаковых коробках 6 кг печенья. Сколь кг весит одна коробка печенья?
Будем рассуждать так. К этой задаче подходит краткая запись в таблице 2. В ней указана масса всех коробок - 6 кг, количество коробок - 3. Нужно узнать, сколько весит одна коробка печенья. Вспомним правило и узнаем действием деления.
Ответ: 2 кг весит одна коробка печенья.
Рассмотрим вторую задачу.
Масса одной коробки печенья - 2 кг. Сколько кг весят 3 таких же коробки печенья?
Будем рассуждать так. К этой задаче подходит краткая запись в таблице 3. В ней указана масса одной коробки печенья - 2 кг, количество коробок - 3. Нужно узнать, сколько весят все коробки печенья. Чтобы узнать, нужно массу одной коробки умножить на количество коробок.
Ответ: 6 кг весят три коробки печенья.
Рассмотрим третью задачу.
Масса одной коробки печенья - 2 кг. Сколько коробок потребуется, чтобы разложить 6 кг печенья поровну?
Рассуждаем так. К этой задаче подходит краткая запись в таблице 1. В ней указана масса одной коробки - 2 кг, масса всех коробок - 6 кг. Нужно узнать количество коробок, чтобы разложить печенье. Вспомним, что для того, чтобы найти количество коробок, необходимо массу всех предметов разделить на массу одного предмета.
Ответ: 3 коробки потребуется.
Отметим, что все три задачи, которые мы решили, были простыми, так как мы могли ответить на вопрос задачи, выполнив одно действие.
Зная взаимосвязь между величинами «масса одного предмета», «количество предметов», «масса всех предметов» можно решать и составные задачи, то есть в 2, 3 действия.
Потренируемся и решим составную задачу.
В 7 одинаковых коробках 21 кг винограда. Сколько кг винограда в 4 таких же коробках?
Запишем данные задачи в таблицу.
Будем рассуждать. Чтобы ответить на вопрос задачи, надо массу одной коробки умножить на количество коробок. Найдем массу одной коробки: так как 7 коробок весят 21 кг, то для того, чтобы найти массу одной коробки, 21:7=3 (кг). Теперь мы знаем, сколько весит одна коробка, можем узнать, сколько весят 4 коробки. Для этого мы 3*4=12 (кг).
Запишем решение.
1. 21:7=3 (кг) - масса одной коробки
2. 3*4=12 (кг)
Ответ: 12 кг винограда в 4 коробках
Сегодня на уроке мы решали задачи и узнали, как связаны между собой величины «масса одного предмета», «количество предметов», «масса всех предметов», научились решать задачи, применяя эти знания.
Список литературы
- М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 1. - М.: «Просвещение», 2012.
- М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 2. - М.: «Просвещение», 2012.
- М.И. Моро. Уроки математики: Методические рекомендации для учителя. 3 класс. - М.: Просвещение, 2012.
- Нормативно-правовой документ. Контроль и оценка результатов обучения. - М.: «Просвещение», 2011.
- «Школа России»: Программы для начальной школы. - М.: «Просвещение», 2011.
- С.И. Волкова. Математика: Проверочные работы. 3 класс. - М.: Просвещение, 2012.
- В.Н. Рудницкая. Тесты. - М.: «Экзамен», 2012.
- Nsportal.ru ().
- Prosv.ru ().
- Do.gendocs.ru ().
Домашнее задание
1. Закончи фразы:
чтобы найти массу всех предметов, нужно …;
чтобы найти массу одного предмета, нужно …;
чтобы найти количество предметов, нужно ….
2. Выбери краткую запись к задаче и реши ее.
В трех одинаковых ящиках 18 кг черешни. Сколько кг черешни в одном ящике?
3. Реши задачу.
В 4 одинаковых коробках 28 кг яблок. Сколько кг яблок в 6 таких же коробках?
§9. Связь между физическими величинами. Физические теории
✓ Что называют физической величиной?
✓ Приведите примеры взаимосвязи физических величин.
1. Как вы знаете, для описания физических явлений и свойств тел и веществ используют физические величины.
Проводя эксперименты, ученые заметили, что величины, которые характеризуют одно и то же явление, взаимно связаны.
Например, при изменении температуры тел их объем и длина меняются. Они увеличиваются вследствие повышения температуры и уменьшаются с его снижением. Температура воды в чайнике при нагревании зависит от времени нагрева.
2. Чтобы сделать вывод о том, что взаимосвязь между величинами не случаен, его проверяют справедливость для многих подобных явлений.
Если связи между величинами, характеризующими явление, проявляются постоянно, то их называют физическими законами.
Существуют физические законы, касающиеся отношения только определенных физических явлений. Например, существуют законы, которые описывают механические явления, или законы, которым подчиняются тепловые явления. Кроме этого, существуют более общие законы, справедливые для всех физических явлений. Совокупность явлений, которые описываются законами, определяется пределами их применимости.
Конечно, физический закон записывают в виде формулы.
3. Познание окружающего мира было бы неполным, если бы люди только наблюдали и описывали явления, устанавливали законы. Нужно еще и уметь объяснять явления природы. Человек, изучая природу, всегда стремится ответить не только на вопрос «Что происходит?» но и на вопрос «Почему так происходит?».
Ответ на вопрос «Почему происходит то или иное явление?» можно получить с помощью теоретических знаний, которые являются основой физической теории. Так, механические явления, например, характер движения транспортных средств или спутников Земли, объясняют теорией, которая называется механикой. Объяснить, почему тела при нагревании расширяются, почему нагревается ложка, опущенная в стакан с горячим чаем, дает возможность молекулярно-кинетическая теория строения вещества. Существуют теории, объясняющие электрические, оптические и магнитные явления.
Таким образом, физические явления - механические, тепловые, электрические и другие - объясняются соответствующими физическими теориями. Теория содержит общие, систематизированные знания о физических явлениях.
Теория позволяет не только объяснить, почему происходит явление, но и предсказать его ход.
Вопросы для самопроверки
1. Что выражает физический закон?
3. Какова роль физической теории?
4. Какие явления объясняет механика?
Величинами являются количественные значения предметов, длин отрезков, времени, углов и т.д.
Определение. Величина - результат измерения, представленный числом и наименованием единицы измерения.
Например: 1 км; 5 ч. 60 км/ч; 15 кг; 180 °.
Величины могут быть независимыми или зависимыми одна от другой. Связь величин может быть жестко установлена (как. например, 1 дм = 10 см) или может отражать зависимость между величинами, выраженную формулой для определения конкретного численного значения (так, например, путь зависит от скорости и продолжительности движения; площадь квадрата — от длины его стороны и т. д.).
Основа метрической системы мер длины - метр - была введена в России в начале XIX века, а до этого для измерения длин использовались: аршин (= 71 см), верста (= 1067 м), косая сажень (= 2 м 13 см), маховая сажень (= 1 м 76 см), простая сажень (= 1 м 52 см), четверть (= 18 см), локоть (приблизительно от 35 см до 46 см), пядь (от 18 см до 23 см).
Как видим, было много величин для измерения длины. С вводом метрической системы мер жестко закреплена зависимость величин длины:
- 1 км = 1 000 м; 1 м = 100 см;
- 1 дм = 10 см; 1 см = 10 мм.
В метрической системе мер определены единицы измерения времени, длины, массы, объема, площади и скорости.
Между двумя и более величинами или системами мер тоже можно устанавливать зависимость, она зафиксирована в формулах, а формулы выведены опытным путем.
Определение. Две взаимно зависимые величины называются пропорциональными , если отношение их значений остается неизменным.
Неизменное отношение двух величин называется коэффициентом пропорциональности. Коэффициент пропорциональности показывает, сколько единиц одной величины приходится на единицу другой величины. Если коэффициенты равны. То и отношения равны.
Расстояние есть произведение скорости и времени движения: отсюда вывели основную формулу движении:
где S - путь; V - скорость; t - время.
Основная формула движения — это зависимость расстояния от скорости и времени движения. Такая зависимость называется пряно пропорциональной .
Определение. Две переменные величины прямо пропорциональны, если с увеличением (или уменьшением) в несколько раз одной величины другая величина увеличивается (или уменьшается) во столько же раз; т.е. отношение соответствующих значений таких величин является величиной постоянной.
При неизменном расстоянии скорость и время связаны другой зависимостью, которая называется обратно пропорциональной .
Правило. Две переменные величины обратно пропорциональны, если с увеличением (или уменьшением) одной величины в несколько раз другая величина уменьшается (или увеличивается) во столько же раз; т.е. произведение соответствующих значений таких величин является величиной постоянной.
Из формулы движения можно вывести еще два соотношения, выражающих прямую и обратную зависимости входящих в них величин:
t = S: V - время движения прямо пропорционально пройденному пути и обратно пропорционально скорости движении (для одинаковых отрезков пути чем больше скорость, тем меньше времени требуется для преодоления расстояния).
V = S: t
- скорость движения прямо пропорциональна
пройденному пути и обратно пропорциональна
времени движения (для одинаковых отрезков пути чем больше
времени движется предмет, тем меньшая скорость требуется для преодоления расстояний).
Все три формулы движения равносильны и используются для решения задач.
Loading...